6筑波大学 2015年 数学 第6問解答・解説

(1) 与えられた式を平方完成すると $$|z-\alpha|^2=(z-\alpha)(\bar z-\bar\alpha) =|z|^2-\alpha\bar z-\bar\alpha z+\alpha\bar\alpha =|\alpha|^2.$$ したがって $C$ は中心 $\alpha$、半径 $|\alpha|$ の円である。$z=0$ はこの式を満たすので、$C$ は原点を通る。

(2) $\beta-\bar\alpha\ne0$ である。$\displaystyle d=\dfrac{i}{\beta-\bar\alpha}$ とおくと、条件はある実数 $t$ を用いて $$(z-\alpha)(\beta-\bar\alpha)=it,\qquad z=\alpha+td$$ と表せる。よって $L$ は中心 $\alpha$ を通る直線である。この直線上では $$|z-\alpha|=|t|\,|d|.$$ これが $C$ の条件 $|z-\alpha|=|\alpha|$ を満たすのは $\displaystyle t=\pm\dfrac{|\alpha|}{|d|}$ の2通りである。$\alpha$ は実数でないため $|\alpha|>0$ であり、2点は異なる。その距離は $$\displaystyle PQ=2\frac{|\alpha|}{|d|}|d|=2|\alpha|=2\sqrt{\alpha\bar\alpha}.$$

(3) $\beta$ は実数なので $\displaystyle \bar d=-\dfrac{i}{\beta-\alpha}$、従って $$(\beta-\alpha)\bar d=-i$$ は純虚数である。複素数平面で内積は $\operatorname{Re}(u\bar v)$ だから、$R-\alpha=\beta-\alpha$ は方向 $d$（すなわち直線 $PQ$）に垂直である。$P,Q$ は中心 $\alpha$ から距離 $|\alpha|$ の反対側の点なので、$\alpha$ は $PQ$ の中点であり、$R$ は $PQ$ の垂直二等分線上にある。従って $RP=RQ$ で、三角形が正三角形となる条件は $$RP=PQ=2|\alpha|.$$ ピタゴラスの定理から $RP^2=|\beta-\alpha|^2+|\alpha|^2$ なので、これは $$|\beta-\alpha|^2=3|\alpha|^2$$ と同値である。$\beta$ が実数であることを用いて展開すると $$(\beta-\alpha)(\beta-\bar\alpha)=3\alpha\bar\alpha, \quad \beta^2-(\alpha+\bar\alpha)\beta-2\alpha\bar\alpha=0.$$ よって $$\displaystyle \beta=\frac{\alpha+\bar\alpha\pm\sqrt{(\alpha+\bar\alpha)^2+8\alpha\bar\alpha}}2.$$ 根の積は $-2\alpha\bar\alpha<0$ であるため、一方は正、一方は負である。$\beta>0$ より正の根を選び、 $$\displaystyle \boxed{\displaystyle \beta=\frac{\alpha+\bar\alpha+\sqrt{(\alpha+\bar\alpha)^2+8\alpha\bar\alpha}}2}.$$ 純虚数を0以外に限る定義では、$L$ から中心 $z=\alpha$ 自体を除く。ただし中心は半径 $|\alpha|>0$ の円 $C$ 上にないため、二交点と以下の結論は変わらない。