7筑波大学 2015年 数学 第7問解答・解説

(1) 与えられた変換条件は $$\displaystyle A\binom\alpha1=\alpha\binom\alpha1,\qquad A\binom\beta1=\beta\binom\beta1.$$ これらを左右に並べて行列積を書くと、$D=\begin{pmatrix}\alpha&0\\0&\beta\end{pmatrix}$ として $AQ=QD$ となる。

(2) $\alpha\ne\beta$ より $$\displaystyle \binom10=Q\binom{1/(\alpha-\beta)}{-1/(\alpha-\beta)}.$$ (1)を繰り返し用いると $A^{n-1}Q=QD^{n-1}$。従って $n\ge2$ では $$\displaystyle \binom{x_n}{y_n}=\frac1{\alpha-\beta}\binom{\alpha^n-\beta^n}{\alpha^{n-1}-\beta^{n-1}}.$$ 初項は $(x_1,y_1)=(1,0)$ である。指数が0のときの曖昧さを避けるため、初項を分けて書いた。

(3) $\alpha=0,\beta=2$ と選ぶ。変換条件から $$\displaystyle A\binom01=\binom00,\qquad A\binom21=\binom42$$ だから $A=\begin{pmatrix}2&0\\1&0\end{pmatrix}$。このとき $n\ge2$ について $$\displaystyle x_n=2^{n-1},\qquad y_n=2^{n-2}=\frac12x_n$$ となり、求める条件を全て満たす。