3筑波大学 2015年 数学 第3問解答・解説

$$\displaystyle \text{(1) }\alpha,\beta\text{ は }x^2-2px-q=0\text{ の解なので、それぞれ }r^2=2pr+q\text{ を満たす。よって }r^{n+1}=2pr^n+qr^{n-1}\text{ である。これを }r=\alpha,\beta\text{ について足して }2\text{ で割ると}\ a_{n+2}=2pa_{n+1}+qa_n\text{ を得る。}\\\text{(2) }a_1=\frac{1+1}{2}=1\text{、}\ a_2=\frac{\alpha+\beta}{2}=p\text{ は整数である。}(1)\text{ の漸化式で }a_n,a_{n+1}\text{ が整数なら }a_{n+2}=2pa_{n+1}+qa_n\text{ も整数となるから、数学的帰納法により全ての自然数 }n\text{ で }a_n\text{ は整数である。}\\\text{(3) }\beta=p-\sqrt{p^2+q}\text{ である。条件 }q<2p+1\text{ から }p^2+q<(p+1)^2\text{ となり、}\sqrt{p^2+q}<p+1\text{。また }q>0\text{ より }\sqrt{p^2+q}>p\text{ なので }-1<\beta<0\text{ である。}\ \frac{\alpha^{n-1}}2=a_n-\frac{\beta^{n-1}}2\text{ と書ける。}\\\text{ }n\text{ が偶数なら }n-1\text{ は正の奇数で }-1<\beta^{n-1}<0\text{ だから }a_n<\frac{\alpha^{n-1}}2<a_n+\frac12\text{。}\frac{\alpha^{n-1}}2\text{ 以下の最大整数は }a_n\text{ となる。}\\\text{ }n\ge3\text{ が奇数なら }n-1\text{ は正の偶数で }0<\beta^{n-1}<1\text{ だから }a_n-\frac12<\frac{\alpha^{n-1}}2<a_n\text{。したがって }b_n=a_n-1\text{。なお }n=1\text{ では }\alpha^0/2=1/2\text{、}a_1=1\text{ より同じく }b_1=a_1-1=0\text{ である。}$$