2筑波大学 2015年 数学 第2問解答・解説

(1) 内心を $I$ とする。半径が $1$ なので $IQ=1$、また $IQ\perp AC$ である。$AI$ は $\angle A$ の二等分線だから、直角三角形 $AIQ$ で $$\displaystyle \tan\frac{\alpha}{2}=\frac{IQ}{AQ}=\frac1{AQ},\qquad AQ=\cot\frac{\alpha}{2}.$$ 二等辺三角形より $\angle ACB=\beta$ である。直角三角形 $CIQ$ から同様に $$\displaystyle \tan\frac{\beta}{2}=\frac{IQ}{QC}=\frac1{QC},\qquad QC=\cot\frac{\beta}{2}.$$

(2) $x=AQ$, $y=QC$, $z=BR=BP$ とおく。同じ点から円に引いた接線の長さは等しいので $AR=x$、$CP=y$ である。$AB=AC$ より $x+z=x+y$、したがって $z=y$、$BC=BP+PC=2y$ となる。内接円の半径が $1$ なので、三つの頂点から内心へ分けた三角形の面積の和は半周長に等しく、 $$\displaystyle S=\frac{AB+BC+CA}{2}=x+2y=\cot\frac{\alpha}{2}+2\cot\frac{\beta}{2}.$$ 角の和から $\alpha=\pi-2\beta$ だから $\cot(\alpha/2)=\tan\beta$。また $0<\beta<\pi/2$ より $0<t=\tan(\beta/2)<1$ であり、 $$\displaystyle \tan\beta=\frac{2t}{1-t^2},\qquad \cot\frac{\beta}{2}=\frac1t.$$ よって $$\displaystyle S=\frac{2t}{1-t^2}+\frac2t=\frac{2}{t(1-t^2)}.$$

(3) $0<t<1$ なので $t(1-t^2)>0$ である。恒等式 $$\displaystyle \frac4{27}-t^2(1-t^2)^2=\frac{(1-3t^2)^2(4-3t^2)}{27}\geq0$$ から $t(1-t^2)\leq 2/(3\sqrt3)$。したがって (2) より $$\displaystyle S=\frac{2}{t(1-t^2)}\geq3\sqrt3.$$ 等号は $t^2=1/3$ のとき、かつそのときに限る。$0<\beta/2<\pi/4$ の範囲で $\tan(\beta/2)=1/\sqrt3$ は $\beta=\pi/3$ と同値であり、$\alpha=\pi-2\beta=\pi/3$ となる。よって等号成立は $ABC$ が正三角形のときに限り、正三角形では実際に等号が成立する。