筑波大学 2015年数学第4問解答・解説

指数関数・対数関数微分法積分法極限

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1問題

筑波大学2015年度第4問

$f(x)=\log(e^{x}+e^{-x})$ とおく。曲線 $y=f(x)$ の点 $(t,f(t))$ における接線を $\ell$ とする。直線 $\ell$ と y 軸の交点の y 座標を $b(t)$ とおく。

(1) 次の等式を示せ。

$\displaystyle b (t) = \frac {2 t e ^ {- t}}{e ^ {t} + e ^ {- t}} + \log (1 + e ^ {- 2 t})$

(2) $x \geq 0$ のとき, $\log(1 + x) \leq x$ であることを示せ。

(3) $t \geq 0$ のとき,

$\displaystyle b (t) \leq \frac {2}{e ^ {t} + e ^ {- t}} + e ^ {- 2 t}$

であることを示せ。

(4) $\displaystyle b(0)=\lim\limits _{x\to\infty}\int_{0}^{x}\frac{4t}{(e^{t}+e^{-t})^{2}}dt$ であることを示せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

接線の切片をf(t)-tf $\prime$ (t)と表して各不等式を導く。最後はb $\prime$ (t)を被積分関数と結び、(3)からb(t)の極限を挟み込む。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle \begin{aligned}(1)\quad &b(t)=\frac{2te^{-t}}{e^t+e^{-t}}+\log(1+e^{-2t}).\\(2)\quad &x\ge0\Longrightarrow \log(1+x)\le x.\\(3)\quad &t\ge0\Longrightarrow b(t)\le\frac2{e^t+e^{-t}}+e^{-2t}.\\(4)\quad &b(0)=\log2=\lim\limits _{x\to\infty}\int_0^x\frac{4t}{(e^t+e^{-t})^2}\,dt.\end{aligned}$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

$\displaystyle \begin{aligned}&f(t)=\log\left(e^t(1+e^{-2t})\right)=t+\log(1+e^{-2t}),\\&f\prime(t)=\frac{e^t-e^{-t}}{e^t+e^{-t}}=1-\frac{2e^{-t}}{e^t+e^{-t}},\\&b(t)=f(t)-tf\prime(t)=\frac{2te^{-t}}{e^t+e^{-t}}+\log(1+e^{-2t}).\\&g(x)=x-\log(1+x),\quad g(0)=0,\quad g\prime(x)=\frac{x}{1+x}\ge0\ (x\ge0),\quad \text{したがって}\ \log(1+x)\le x.\\&t\ge0\quad\text{より}\quad e^t\ge1+t\ge t\quad\text{より}\quad te^{-t}\le1,\\&0\le b(t)\le\frac2{e^t+e^{-t}}+e^{-2t}\quad(t\ge0),\quad\text{したがって}\lim\limits _{t\to\infty}b(t)=0.\\&f\prime\prime(t)=\frac{(e^t+e^{-t})^2-(e^t-e^{-t})^2}{(e^t+e^{-t})^2}=\frac4{(e^t+e^{-t})^2},\\&b\prime(t)=\frac{d}{dt}\left(f(t)-tf\prime(t)\right)=-tf\prime\prime(t)=-\frac{4t}{(e^t+e^{-t})^2},\\&\int_0^x\frac{4t}{(e^t+e^{-t})^2}\,dt=b(0)-b(x)\xrightarrow[x\to\infty]{}b(0),\qquad b(0)=f(0)=\log2.\end{aligned}$

この問題で使う考え方

有理数指数と指数法則
対数とその性質
対数関数のグラフ・増減
曲線の接線
指数・対数関数の微分
商の微分
第二次導関数
関数の極限

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