3東京大学 2015年 数学 第3問解答・解説

(1) $x\le1$ では $\log x\le0<ax^p$ なので共有点はない。$x>1$ で共有点条件は $a=f(x)$，ただし $\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{x^p}$ である。商の微分より $$\displaystyle f'(x)=\frac{1-p\log x}{x^{p+1}}.$$ したがって $f$ は $1<x<e^{1/p}$ で増加し，$x>e^{1/p}$ で減少する。また問題文で許される極限から $\displaystyle \lim\limits _{x\to\infty}f(x)=0$ であり，$f(1)=0$ である。よって $f$ の最大値は $x_Q=e^{1/p}$ における値である。もし $0<a<f(e^{1/p})$ なら共有点は2点，$a>f(e^{1/p})$ なら0点であり，ただ1点となるには $a=f(e^{1/p})$ でなければならない。 $$\displaystyle a=f(e^{1/p})=\frac{1/p}{e}=\frac1{ep},\qquad Q=\left(e^{1/p},\frac1p\right).$$ (2) $x_0=e^{1/p}$ とおく。$0<x<1$ では $\log x<0<ax^p$，また $1<x<x_0$ では $f(x)<f(x_0)=a$ より $\log x<ax^p$ である。したがって回転体の体積は $$\displaystyle V=\pi a^2\int_0^{x_0}x^{2p}\,dx-\pi\int_1^{x_0}(\log x)^2\,dx.$$ ここで $a=1/(ep)$，$x_0=e^{1/p}$ より $$\displaystyle a^2\frac{x_0^{2p+1}}{2p+1}=\frac{x_0}{p^2(2p+1)}.$$ また部分積分で $\displaystyle \int(\log x)^2dx=x\{(\log x)^2-2\log x+2\}$ だから， $$\displaystyle \int_1^{x_0}(\log x)^2dx=x_0\left(\frac1{p^2}-\frac2p+2\right)-2.$$ 以上より $$\displaystyle \begin{aligned}V(p)&=\pi\left[\frac{x_0}{p^2(2p+1)}-x_0\left(\frac1{p^2}-\frac2p+2\right)+2\right]\\&=2\pi\left(1+e^{1/p}\frac{1-2p}{2p+1}\right).\end{aligned}$$ (3) $V(p)=2\pi$ とし，$e^{1/p}>0$，$2p+1>0$ を用いると $1-2p=0$。したがって $p=1/2$ である。