1東京大学 2015年 数学 第1問解答・解説

$c=x^2-1$ とおくと、放物線上で与えられる $y$ は $$\displaystyle y=ca+\frac{1}{4a}\qquad(a>0)$$ と表せる。

$c<0$ のとき、これを $a$ の二次方程式 $$4ca^2-4ya+1=0$$ とみる。判別式は $16(y^2-c)>0$、解の積は $1/(4c)<0$ なので、任意の実数 $y$ に対し正の解がちょうど1つある。従って $|x|<1$ では全ての $y$ が通過領域に含まれる。

$c=0$ のとき $y=1/(4a)$ だから、得られるのは $y>0$。

$c>0$ のとき、相加相乗平均から $$\displaystyle ca+\frac{1}{4a}\ge2\sqrt{\frac c4}=\sqrt c.$$ 逆に $y\ge\sqrt c$ なら $$\displaystyle a=\frac{y+\sqrt{y^2-c}}{2c}>0$$ は $4ca^2-4ya+1=0$ を満たす。従って $|x|>1$ では $y\ge\sqrt{x^2-1}$。

以上より、通過領域は $$\boxed{|x|<1\quad\text{または}\quad\bigl(y>0\ \text{かつ}\ x^2-y^2\le1\bigr)}.$$ すなわち、$-1<x<1$ の縦帯は全て含み、外側では双曲線 $x^2-y^2=1$ の上側の領域を枝ごと含む。$x=\pm1$ 上は $y>0$ のみ含み、$(\pm1,0)$ は含まない。