4東京大学 2015年 数学 第4問解答・解説

まず $p_1=p_2=1,2$ と漸化式から $p_n>0$ が全ての $n\ge1$ で成り立つ。したがって以下の分母で割ることができる。

(1) $\displaystyle A_n=\frac{p_{n+1}^2+p_n^2+1}{p_{n+1}p_n}$ とおく。漸化式を積の形にすると $p_np_{n+2}=p_{n+1}^2+1$ だから $$\displaystyle A_n=\frac{p_{n+2}+p_n}{p_{n+1}}.$$ 同様に $\displaystyle A_{n+1}=\frac{p_{n+3}+p_{n+1}}{p_{n+2}}$。両者を交差乗算すると $$\begin{aligned} p_{n+2}(p_{n+2}+p_n) &=p_{n+2}^2+p_np_{n+2} =p_{n+2}^2+p_{n+1}^2+1,\\ p_{n+1}(p_{n+3}+p_{n+1}) &=p_{n+1}p_{n+3}+p_{n+1}^2 =p_{n+2}^2+1+p_{n+1}^2. \end{aligned}$$ ここでも漸化式を用いたので $A_n=A_{n+1}$。よって $A_n$ は一定であり、 $$\displaystyle A_1=\frac{2^2+1^2+1}{2\cdot1}=3$$ から $A_n=3$ である。

(2) $n\ge2$ とする。(1)と、漸化式を添字 $n-1$ で用いた $p_{n+1}p_{n-1}=p_n^2+1$ より $$3p_{n+1}p_n=p_{n+1}^2+p_n^2+1 =p_{n+1}^2+p_{n+1}p_{n-1}.$$ $p_{n+1}>0$ で割ると $$p_{n+1}+p_{n-1}=3p_n.$$

(3) $r_n=q_{2n-1}$ とおく。$q_{n+2}=q_{n+1}+q_n$ を繰り返すと $$r_{n+2}=q_{2n+3}=q_{2n+2}+q_{2n+1} =2q_{2n+1}+q_{2n} =3q_{2n+1}-q_{2n-1} =3r_{n+1}-r_n.$$ 一方、(2)の添字を $n+1$ とすると $p_{n+2}=3p_{n+1}-p_n$（$n\ge1$）。また $p_1=r_1=1$、$p_2=2=q_3=r_2$。したがって $p_n$ と $r_n$ は同じ二項漸化式と初期値を持ち、帰納法により $$p_n=r_n=q_{2n-1}\qquad(n\ge1)$$ が成り立つ。

漸化式から比の不変量を示して初項で値を決める。その値と元の漸化式からpの二項漸化式を得て、qの奇数番目の部分列が同じ漸化式・初期値を持つことを示す。