5東京大学 2015年 数学 第5問解答・解説

二項定理より $$\displaystyle (1+x)^{2015}=\sum\limits _{m=0}^{2015}\binom{2015}{m}x^m$$ であるから、各係数の偶奇を考える。二進展開は $$2015=2^{10}+2^9+2^8+2^7+2^6+2^4+2^3+2^2+2+1.$$ 係数を2を法として考える。まず $j=0$ では $(1+x)^{2^0}=1+x$。また、$(1+x)^{2^j}\equiv1+x^{2^j}\pmod2$ が成り立つと仮定すれば $$\begin{aligned}(1+x)^{2^{j+1}}&\equiv(1+x^{2^j})^2\\&=1+2x^{2^j}+x^{2^{j+1}}\\&\equiv1+x^{2^{j+1}}\pmod2.\end{aligned}$$ ここで交差項 $2x^{2^j}$ は2の倍数である。従って帰納法により、全ての整数 $j\ge0$ について $$(1+x)^{2^j}\equiv1+x^{2^j}\pmod2.$$ よって $$\begin{aligned}(1+x)^{2015}\equiv{}&(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)(1+x^{16})\\&\cdot(1+x^{64})(1+x^{128})(1+x^{256})\\&\cdot(1+x^{512})(1+x^{1024})\pmod2.\end{aligned}$$ $1\le m\le31$ なら、mの二進表示は $1,2,4,8,16$ の一部の和としてただ一通りに表せる。右辺で対応する因子からその項を選ぶ方法はただ一つなので、$x^m$ の係数は1を法として合同し、$\displaystyle \binom{2015}{m}$ は奇数である。一方、指数32はこの最初の5つの因子からは得られず、次の使える指数は64である。よって $x^{32}$ の係数は0を法として合同し、$\displaystyle \binom{2015}{32}$ は偶数である。従って求める最小のmは $$\boxed{32}.$$

現行作者版は二項定理による係数偶奇の議論に必要な平方合同式を帰納法で示し、原文の第5問と条件に適合。