5信州大学 2015年 数学 第5問解答・解説

(1) 二項定理より $$\displaystyle x(1+x)^n=\sum\limits _{j=0}^{n}\binom{n}{j}x^{j+1}.$$ これを微分すると $$\displaystyle \frac{d}{dx}\{x(1+x)^n\}=\sum\limits _{j=0}^{n}(j+1)\binom{n}{j}x^j.$$ したがって、0$\le$ k$\le$ n に対する $x^k$ の係数は $$\displaystyle (k+1)\binom{n}{k}$$ である。

(2) 恒等式 $$(k+1)^2=k(k-1)+3k+1$$ を用いる。二項定理 $$\displaystyle (1+x)^n=\sum\limits _{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k$$ の両辺を微分して x=1 とおくと $$\displaystyle \sum\limits _{k=0}^{n}k\binom{n}{k}=n2^{n-1}.$$ さらに二階微分して x=1 とおくと $$\displaystyle \sum\limits _{k=0}^{n}k(k-1)\binom{n}{k}=n(n-1)2^{n-2}.$$ （n=1 の場合も両辺は 0 で成り立つ。）また $$\displaystyle \sum\limits _{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^n.$$ よって $$\displaystyle \begin{aligned}\sum\limits _{k=0}^{n}(k+1)^2\binom{n}{k}&=n(n-1)2^{n-2}+3n2^{n-1}+2^n\\&=\{n(n-1)+6n+4\}2^{n-2}\\&=(n^2+5n+4)2^{n-2}\\&=(n+1)(n+4)2^{n-2},\end{aligned}$$ となり、示された。