2大阪医科薬科大学 2022年 数学 第2問解答・解説

〔2〕

agraph{(1)} $0\le m\le n$ とする。$0\le k\le m$ なら $$\displaystyle \frac{1}{k!}\frac{d^k}{dx^k}(x^m) =\frac{1}{k!}\frac{m!}{(m-k)!}x^{m-k} =\binom{m}{k}x^{m-k}.$$ したがって二項定理により $$\displaystyle \sum\limits _{k=0}^{m}\frac{1}{k!}\frac{d^k}{dx^k}(x^m) =\sum\limits _{k=0}^{m}\binom{m}{k}x^{m-k} =(x+1)^m.$$ $m=0$ の場合も、左辺の唯一の項は $x^0=1$ なので成り立つ。

agraph{(2)} $\displaystyle f(x)=\sum\limits _{m=0}^{n}c_mx^m$ とおく。微分の線形性および有限和の交換から $$\displaystyle \begin{aligned} \sum\limits _{k=0}^{n}\frac1{k!}\frac{d^k}{dx^k}f(x) &=\sum\limits _{m=0}^{n}c_m\sum\limits _{k=0}^{n}\frac1{k!}\frac{d^k}{dx^k}(x^m)\\ &=\sum\limits _{m=0}^{n}c_m\sum\limits _{k=0}^{m}\frac1{k!}\frac{d^k}{dx^k}(x^m)\\ &=\sum\limits _{m=0}^{n}c_m(x+1)^m=f(x+1). \end{aligned}$$ ここでは $k>m$ の導関数は0であり、最後から2行目に(1)を用いた。よって示された。

agraph{検算} 各単項式 $x^m$ に対する等式は(1)そのもので、線形結合をとる操作で係数 $c_m$ に制約は生じない。