2九州大学 2022年 数学 第2問解答・解説

準備　 $\alpha\neq\beta$ より $D(x):=(x-\alpha)(x-\beta)^{2}$ は最高次係数 $1$ の $3$ 次式である。

(1) の証明

$n\ge 3$ であるから，整式の除法（多項式の割り算）により，$x^{n}$ を $D(x)$ で割ったときの商 $Q(x)$（$n-3$ 次式）と余り $R(x)$（$\deg R\le 2$，$R=0$ の場合も含む）がただ一組存在して，恒等式 $$x^{n}=D(x)Q(x)+R(x)$$ が成り立つ。$R(x)$ は高々 $2$ 次であるから，実数 $p,q,r$ を用いて $R(x)=px^{2}+qx+r$ と書ける。

ここで $$A(x-\alpha)(x-\beta)+B(x-\alpha)+C = Ax^{2}+[B-A(\alpha+\beta)]x+[C-B\alpha+A\alpha\beta]$$ であるから，これが $R(x)=px^{2}+qx+r$ と（$x$ についての恒等式として）一致するためには，$x^{2},x^{1},x^{0}$ の係数を比較して $$A=p,\qquad B=q+p(\alpha+\beta),\qquad C=r+q\alpha+p\alpha^{2}$$ とすればよい。$p,q,r$ はすでに実数として存在しているので，この $A,B,C$ も実数として（それぞれ一意に）定まる。したがって $$x^{n}=(x-\alpha)(x-\beta)^{2}Q(x)+A(x-\alpha)(x-\beta)+B(x-\alpha)+C$$ をみたす実数 $A,B,C$ と整式 $Q(x)$ が存在する。$\blacksquare$

(2) の解答

(1) により，ある実数 $A,B,C$ と整式 $Q(x)$ に対して，すべての実数 $x$ で $$x^{n}=(x-\alpha)(x-\beta)^{2}Q(x)+A(x-\alpha)(x-\beta)+B(x-\alpha)+C \tag{$\ast$}$$ が成り立つ。この $A,B,C$ を具体的に求める。

[Cを求める]　 $(\ast)$ に $x=\alpha$ を代入すると，右辺の $(x-\alpha)$ を含む項はすべて消えて $$\alpha^{n}=C,\qquad\text{すなわち}\qquad C=\alpha^{n}.$$

[B, Aを求める]　 $(\ast)$ において $x=\beta+t$（$t$ は任意の実数）とおく。$(\ast)$ はすべての実数 $x$ で成り立つ恒等式であるから，これは $t$ についての恒等式とみなせる。$x-\beta=t,\ x-\alpha=(\beta-\alpha)+t$ であるから，$(\ast)$ は $$(\beta+t)^{n}=t^{2}[(\beta-\alpha+t)Q(\beta+t)]+A(\beta-\alpha+t)t+B[(\beta-\alpha)+t]+C$$ となる。右辺第 $1$ 項は $Q(\beta+t)$ が $t$ の整式であることから，$t^{2}\times(t\text{の整式})$ の形，すなわち $t^{0}$ と $t^{1}$ の係数はともに $0$ である。残りの項を整理すると，右辺の $t^{0},t^{1}$ の係数はそれぞれ $$t^{0}:\ B(\beta-\alpha)+C,\qquad t^{1}:\ A(\beta-\alpha)+B$$ である。一方，二項定理により左辺は $$\displaystyle (\beta+t)^{n}=\sum\limits _{k=0}^{n}\binom{n}{k}\beta^{n-k}t^{k}=\beta^{n}+n\beta^{n-1}t+(t^{2}\text{以上の項})$$ であるから，両辺の $t$ についての整式としての係数を比較して $$\beta^{n}=B(\beta-\alpha)+C \quad\cdots\text{(I)},\qquad n\beta^{n-1}=A(\beta-\alpha)+B \quad\cdots\text{(II)}$$ を得る（(I) は $x=\beta$ を直接代入した場合と同じ式である）。

(I) と $C=\alpha^{n}$ より，$\beta\neq\alpha$ に注意して $$\displaystyle B=\frac{\beta^{n}-C}{\beta-\alpha}=\frac{\beta^{n}-\alpha^{n}}{\beta-\alpha}.$$ ここで，恒等式 $$\displaystyle \beta^{n}-\alpha^{n}=(\beta-\alpha)\sum\limits _{j=0}^{n-1}\alpha^{j}\beta^{\,n-1-j}$$ が成り立つことは，右辺を展開すると $$\displaystyle (\beta-\alpha)\sum\limits _{j=0}^{n-1}\alpha^{j}\beta^{\,n-1-j} =\sum\limits _{j=0}^{n-1}(\alpha^{j}\beta^{\,n-j}-\alpha^{j+1}\beta^{\,n-1-j})$$ の各項が隣り合う項と打ち消し合うことから，和が $\beta^{n}-\alpha^{n}$ に一致して確かめられる。したがって $$\displaystyle B=\sum\limits _{j=0}^{n-1}\alpha^{j}\beta^{\,n-1-j}=\beta^{n-1}+\alpha\beta^{n-2}+\cdots+\alpha^{n-1}.$$

次に (II) より $$\displaystyle A=\frac{n\beta^{n-1}-B}{\beta-\alpha}.$$ $\displaystyle n\beta^{n-1}=\displaystyle\sum\limits _{j=0}^{n-1}\beta^{n-1}$（同じ項を $n$ 個加えたもの）であるから， $$\displaystyle n\beta^{n-1}-B=\sum\limits _{j=0}^{n-1}(\beta^{n-1}-\alpha^{j}\beta^{\,n-1-j}) =\sum\limits _{j=0}^{n-1}\beta^{\,n-1-j}(\beta^{j}-\alpha^{j}).$$ $j=0$ の項は $0$ であり，$1\le j\le n-1$ の項には，先ほどの項の相殺と同様の恒等式 $\displaystyle \beta^{j}-\alpha^{j}=(\beta-\alpha)\sum\limits _{i=0}^{j-1}\alpha^{i}\beta^{\,j-1-i}$ を用いると， $$\displaystyle n\beta^{n-1}-B=(\beta-\alpha)\sum\limits _{j=1}^{n-1}\sum\limits _{i=0}^{j-1}\alpha^{i}\beta^{\,n-2-i}.$$ 両辺を $\beta-\alpha$ で割って $$\displaystyle A=\sum\limits _{j=1}^{n-1}\sum\limits _{i=0}^{j-1}\alpha^{i}\beta^{\,n-2-i}.$$ この二重和で，$i$ を $0\le i\le n-2$ に固定すると，$j$ は $i+1\le j\le n-1$ の $n-1-i$ 個の値をとり，和の中身 $\alpha^{i}\beta^{\,n-2-i}$ は $j$ に無関係だから，和の順序を入れ替えて $$\displaystyle A=\sum\limits _{i=0}^{n-2}(n-1-i)\,\alpha^{i}\beta^{\,n-2-i}.$$ $k=n-2-i$ とおき直すと $$\displaystyle A=\sum\limits _{k=0}^{n-2}(k+1)\,\alpha^{\,n-2-k}\beta^{k} =\alpha^{n-2}+2\alpha^{n-3}\beta+3\alpha^{n-4}\beta^{2}+\cdots+(n-1)\beta^{n-2}.$$

以上より $$\displaystyle \boxed{\,C=\alpha^{n},\qquad B=\sum\limits _{j=0}^{n-1}\alpha^{j}\beta^{\,n-1-j}=\frac{\beta^{n}-\alpha^{n}}{\beta-\alpha},\qquad A=\sum\limits _{k=0}^{n-2}(k+1)\alpha^{\,n-2-k}\beta^{k}=\frac{n\beta^{n-1}(\beta-\alpha)-(\beta^{n}-\alpha^{n})}{(\beta-\alpha)^{2}}\,}$$

（検算：例えば ($n=3,\quad \alpha=1,\quad \beta=2$) では ($A=5,\quad B=7,\quad C=1$) である。($D(x)=(x-1)(x-2)^2=x^3-5x^2+8x-4$)、($R(x)=5(x-1)(x-2)+7(x-1)+1=5x^2-8x+4$) だから ($x^3=D(x)+R(x)$)。この場合の商は ($Q(x)=1$)、余りは (R(x)) である。）

(3) の解答

$n,\alpha$ を固定するとき，(2) で得た $$\displaystyle A=\sum\limits _{k=0}^{n-2}(k+1)\,\alpha^{\,n-2-k}\beta^{k}$$ は $\beta$ の整式（多項式）であり，$\beta$ の整式は実数全体で連続な関数である。したがって $\beta\to\alpha$ のときの極限値は，この整式に $\beta=\alpha$ を代入した値に等しい： $$\displaystyle \lim\limits _{\beta\to\alpha}A=\sum\limits _{k=0}^{n-2}(k+1)\,\alpha^{\,n-2-k}\alpha^{k} =\alpha^{n-2}\sum\limits _{k=0}^{n-2}(k+1).$$ ここで $$\displaystyle \sum\limits _{k=0}^{n-2}(k+1)=1+2+\cdots+(n-1)=\frac{(n-1)n}{2}$$ （初項 $1$，公差 $1$，項数 $n-1$ の等差数列の和）であるから， $$\displaystyle \boxed{\ \lim\limits _{\beta\to\alpha}A=\frac{n(n-1)}{2}\,\alpha^{\,n-2}\ }$$ を得る。

（注：この極限値は $f(x)=x^{n}$ とおくとき $\displaystyle \dfrac{f''(\alpha)}{2}$ に一致しており，$\beta$ が $\alpha$ に近づくにつれて，$C,B,A$ が順に $\displaystyle f(\alpha),\,f'(\alpha),\,\dfrac{f''(\alpha)}{2}$ に対応する量へ移行していくという構造が背景にある。ただし本解答自体は微分の公式を用いず，整式の除法・二項定理・数列の和のみで完結している。)