3九州大学 2022年 数学 第3問解答・解説

(1) 互いに素な整数 $210m^2$ は偶数なので $n^4=1+210m^2$ は奇数、従って $n$ は奇数。$n=2k+1$ とおけば $$\displaystyle \frac{n^2+1}{2}=2k^2+2k+1,\qquad \frac{n^2-1}{2}=2k(k+1)$$ はいずれも整数で、両者の差は $1$。よって互いに素。

(2) 168の倍数 $n=2k+1$ より $$n^2-1=4k(k+1)$$ で、連続整数 $k,k+1$ の積は偶数だから $8\mid n^2-1$。

式を法3で見ると $n^4\equiv1\pmod3$。従って $n$ は3の倍数でなく、$n\equiv\pm1\pmod3$、ゆえに $n^2\equiv1\pmod3$。

法7では $n^4\equiv1\pmod7$。剰余 $r=0,1,2,3,4,5,6$ に対して $r^4$ を法7でとった余りは順に $0,1,2,4,4,2,1$。したがって $n\equiv1$ または $6\pmod7$ で、いずれも $n^2\equiv1\pmod7$。従って $3,7\mid n^2-1$。

$8,3,7$ は互いに素なので $$\boxed{168=8\cdot3\cdot7\mid n^2-1}.$$

(3) 一つの解 $m=116,n=41$ とすると $$41^2=1681,\quad 41^4=1681^2=2{,}825{,}761,$$ 一方 $$1+210\cdot116^2=1+210\cdot13{,}456=2{,}825{,}761.$$ よって $n^4=1+210m^2$ を満たす自然数の組の一つは $$\boxed{(m,n)=(116,41)}.$$