3岐阜大学 2022年 数学 第3問解答・解説

数列は$a_n=12+8(n-1)$、$b_1=3$、$b_{n+1}=b_n+a_n$。

(1) $$\boxed{a_n=8n+4}.$$

(2) $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^n a_k=\frac n2(a_1+a_n) =\frac n2(12+8n+4)=\boxed{4n(n+2)}.$$

(3) 漸化式を初項から足すと $$\displaystyle b_n=3+\sum\limits _{k=1}^{n-1}a_k =3+4(n-1)(n+1)=\boxed{4n^2-1}.$$

(4) $$\displaystyle \frac1{b_k}=\frac1{4k^2-1} =\frac12\left(\frac1{2k-1}-\frac1{2k+1}\right).$$ したがって隣り合う項が消え、 $$\displaystyle S_n=\frac12\left(1-\frac1{2n+1}\right)=\boxed{\frac{n}{2n+1}}.$$

(5) $$\displaystyle \frac12-S_n=\frac1{2(2n+1)}=\frac1{4n+2}.$$ 条件は$4n+2>10^m$、すなわち$n>(10^m-2)/4$。$m=1$では最小$n=3$。$m\ge2$では$q=10^m/4$が整数で、$n=q$は$4q+2=10^m+2>10^m$を満たし、$n=q-1$は$4(q-1)+2=10^m-2<10^m$を満たす。従って最小値は$n=q=10^m/4$。ゆえに $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^m c_k=3+\frac14\sum\limits _{k=2}^m10^k =3+\frac{10^{m+1}-100}{36} =\boxed{\frac{10^{m+1}+8}{36}}.$$ （$m=1$でも空和を0とすれば式は成立する。）

高校範囲・論証： 等差数列の一般項・和、漸化式の累積、部分分数分解による望遠和、指数不等式と最小整数の判定、等比数列の有限和を使用。単元： 数学B「数列」。方法： 漸化式を和に直し、逆数和を望遠和にし、厳密不等式から最小値を場合分け。公式・定理： 等差数列の和、有限等比数列の和、部分分数分解。テーマ： 数列の累積と望ましい消去、閾値を満たす最小整数の総和。