4岐阜大学 2022年 数学 第4問解答・解説

(1) 加法定理から $$\begin{aligned} \sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta) &=(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta) -(\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta)\\ &=2\cos\alpha\sin\beta. \end{aligned}$$

(2) (1) に $\alpha=j\theta$、$\displaystyle \beta=\frac\theta2$ を代入すると $$\displaystyle \sin\left(j\theta+\frac\theta2\right)-\sin\left(j\theta-\frac\theta2\right) =2\cos(j\theta)\sin\frac\theta2.$$ これを $j=1,2,\ldots,k$ について加えると、右辺は $\displaystyle 2\sin\frac\theta2\sum\limits _{j=1}^k\cos(j\theta)$、左辺は隣り合う項が消えて $$\displaystyle \sin\frac{(2k+1)\theta}{2}-\sin\frac\theta2$$ となる。したがって $$\displaystyle \begin{aligned} \left(\frac12+\sum\limits _{j=1}^k\cos(j\theta)\right)\sin\frac\theta2 &=\frac12\sin\frac\theta2+ \frac12\left(\sin\frac{(2k+1)\theta}{2}-\sin\frac\theta2\right)\\ &=\frac12\sin\frac{(2k+1)\theta}{2}, \end{aligned}$$ 所要の等式を得る。

(3) 部分積分により $$\displaystyle I=\left[e^x\cos x\right]_0^\pi+\int_0^\pi e^x\sin x\,dx =-(e^\pi+1)+J.$$ また $$\displaystyle J=\left[e^x\sin x\right]_0^\pi-\int_0^\pi e^x\cos x\,dx=-I.$$ よって $I=-(e^\pi+1)-I$ なので $$\displaystyle I=-\frac{e^\pi+1}{2},\qquad J=\frac{e^\pi+1}{2}.$$

(4) $\displaystyle h=\frac\pi n$、$x_k=kh$ とおくと、$P,Q$ の各和はそれぞれ $$\displaystyle \widetilde P_n=h\sum\limits _{k=1}^n e^{x_k}\cos x_k, \qquad \widetilde Q_n=h\sum\limits _{k=1}^n e^{x_k}\sin x_k$$ となる。これらは $0\le x\le\pi$ の範囲を分割し、各小区間の右端を用いた区分求積である。関数 $e^x\cos x$ と $e^x\sin x$ は連続だから $$\displaystyle P=\int_0^\pi e^x\cos x\,dx=I=-\frac{e^\pi+1}{2}, \qquad Q=\int_0^\pi e^x\sin x\,dx=J=\frac{e^\pi+1}{2}.$$

(5) $\displaystyle h=\frac\pi n$ とする。定義に現れる各和を $e^{kh}$ ごとにまとめると、$e^{kh}$ は定数項の和に一度、また $\cos(jh)$ の項では $1\leq j\leq k$ のときに一度ずつ現れる。したがって $$\displaystyle S_n=h^2\sum\limits _{k=1}^n e^{kh} \left(\frac12+\sum\limits _{j=1}^k\cos(jh)\right).$$ (2) に $\theta=h$ を代入すると $$\displaystyle \left(\frac12+\sum\limits _{j=1}^k\cos(jh)\right) =\frac{\sin\frac{(2k+1)h}{2}}{2\sin\frac h2}.$$ ここで $n\geq1$ より $\displaystyle 0<\frac h2\leq\frac\pi2$ なので、分母の $\displaystyle \sin\frac h2$ は0ではない。上式を代入して $$\displaystyle S_n=\left(\frac\pi n\right)^2\sum\limits _{k=1}^n \left\{e^{\pi k/n}\frac{\sin\frac{(2k+1)\pi}{2n}}{2\sin\frac\pi{2n}}\right\}$$ を得る。

(6) $\displaystyle h=\frac\pi n$、$\displaystyle \delta=\frac h2$、$x_k=kh$ とする。(5) の和に $$\sin(x_k+\delta)=\sin x_k\cos\delta+\cos x_k\sin\delta$$ を用いると $$\displaystyle \begin{aligned} S_n &=\frac h2\cot\delta\left(h\sum\limits _{k=1}^n e^{x_k}\sin x_k\right) +\frac h2\left(h\sum\limits _{k=1}^n e^{x_k}\cos x_k\right)\\ &=\delta\cot\delta\,\widetilde Q_n+\frac h2\widetilde P_n. \end{aligned}$$ (4) より $\displaystyle \widetilde Q_n\to Q=\frac{e^\pi+1}{2}$、$\widetilde P_n\to P$ である。また $$\displaystyle \delta\cot\delta=\frac{\cos\delta}{\sin\delta/\delta}\longrightarrow1 \qquad(\delta\to0)$$ であり、$\displaystyle \frac h2\widetilde P_n\to0$ である。したがって $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}S_n=Q=\frac{e^\pi+1}{2}.$$