4昭和大学 2011年 数学 第4問解答・解説

(1-1) 放物線 $C_1$ 上の $x=u$ における接線の傾きは $2u-2$，切片は $3-u^2$ である。共通接線を $y=mx+c$ とすると $$\displaystyle m=2u-2,\quad c=3-u^2 \quad\text{ならば}\quad c=3-\frac{(m+2)^2}{4}.$$ 同様に，$C_2$ 上の $x=v$ における接線の傾きは $2v+2$，切片は $-1-v^2$ なので $$\displaystyle m=2v+2,\quad c=-1-v^2 \quad\text{ならば}\quad c=-1-\frac{(m-2)^2}{4}.$$ 両方の切片が等しいから $$\displaystyle 3-\frac{(m+2)^2}{4}=-1-\frac{(m-2)^2}{4} \quad\text{すなわち}\quad 16=(m+2)^2-(m-2)^2=8m,$$ したがって $m=2,\ c=-1$ であり，共通接線は $y=2x-1$ である。

(1-2) 接線と各放物線との差は $$C_1-(2x-1)=(x-2)^2,\qquad C_2-(2x-1)=x^2.$$ また $C_1=C_2$ は $4-4x=0$，すなわち $x=1$ である。接線は $C_2$ に $x=0$，$C_1$ に $x=2$ で接する。$0\leq x\leq1$ では $C_2$ が接線に近い方の放物線，$1\leq x\leq2$ では $C_1$ が接線に近い方である。よって囲まれた部分の面積は $$\displaystyle \int_0^1 x^2\,dx+\int_1^2(x-2)^2\,dx =\frac13+\frac13=\frac23.$$

(2-1) 半角の公式を用いると $$\displaystyle \int_0^\pi\sin^2x\,dx =\int_0^\pi\frac{1-\cos2x}{2}\,dx =\left[\frac{x}{2}-\frac{\sin2x}{4}\right]_0^\pi=\frac\pi2.$$

(2-2) 部分積分により $$\displaystyle \int_0^\pi x\sin x\,dx =\left[-x\cos x+\sin x\right]_0^\pi=\pi.$$

(2-3) 積分を展開する。対称性と(2-1),(2-2)から $$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}(x+1)^2\,dx=\frac{2\pi^3}{3}+2\pi, \quad \int_{-\pi}^{\pi}(x+1)\sin x\,dx=2\int_0^\pi x\sin x\,dx=2\pi, \quad \int_{-\pi}^{\pi}\sin^2x\,dx=\pi.$$ ここで $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\sin x\,dx=0$ であり，$x\sin x$ は偶関数である。したがって $$\displaystyle \begin{aligned} I&=\int_{-\pi}^{\pi}\bigl((x+1)^2+2k(x+1)\sin x+k^2\sin^2x\bigr)\,dx\\ &=\frac{2\pi^3}{3}+2\pi+4\pi k+\pi k^2\\ &=\pi(k+2)^2+\frac{2\pi^3}{3}-2\pi. \end{aligned}$$

(2-4) $\pi>0$ なので，この平方完成した式は $k=-2$ で最小となり，最小値は $$\displaystyle I_{\min}=\frac{2\pi^3}{3}-2\pi.$$ $k=-2$ を(2-3)の式に代入しても同じ値を得る。