23自治医科大学 2014年 数学 第23問解答・解説

Q23

最終答

$f(t)$ が最小となるときの $t$ は $2$ である。選択肢はサ。

解答

積分内の式を展開すると、

$$\displaystyle f(t)=\int_0^\pi x^2\,dx-2t\int_0^\pi x\sin x\,dx+t^2\int_0^\pi\sin^2x\,dx.$$

まず、部分積分により

$$\displaystyle \int_0^\pi x\sin x\,dx=\left[-x\cos x+\sin x\right]_0^\pi=\pi.$$

また、$\displaystyle \sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}$ を用いると

$$\displaystyle \int_0^\pi\sin^2x\,dx=\left[\frac{x}{2}-\frac{\sin2x}{4}\right]_0^\pi=\frac{\pi}{2}, \qquad \int_0^\pi x^2\,dx=\frac{\pi^3}{3}.$$

したがって、

$$\displaystyle f(t)=\frac{\pi^3}{3}-2\pi t+\frac{\pi}{2}t^2 =\frac{\pi}{2}(t-2)^2+\frac{\pi^3}{3}-2\pi.$$

$\displaystyle \frac{\pi}{2}>0$ だから、右辺が最小となるのは $(t-2)^2=0$、すなわち $t=2$ のときである。

使用解法

積分の線形性、部分積分、三角関数の倍角による積分、および二次式の平方完成。

issues

なし。