25自治医科大学 2014年 数学 第25問解答・解説

Q25

最終答

$128S=9$ である。選択肢はワ。

解答

媒介変数表示から

$$\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=-4\cos^3\theta\sin\theta,\qquad \frac{dy}{d\theta}=-4\sin^3\theta\cos\theta.$$

$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$ では両微分係数の分母に当たる $\displaystyle \frac{dx}{d\theta}$ は $0$ でないので、接線の傾きは

$$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}=\tan^2\theta=\frac13.$$

接点は

$$\displaystyle \left(\cos^4\frac{\pi}{6},-\sin^4\frac{\pi}{6}\right)=\left(\frac9{16},-\frac1{16}\right).$$

よって接線 $L$ は

$$\displaystyle y+\frac1{16}=\frac13\left(x-\frac9{16}\right),\qquad y=\frac{x}{3}-\frac14.$$

一方、$\displaystyle 0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$ では $x=\cos^4\theta$ は $1$ から $0$ まで動き、$\cos^2\theta=\sqrt{x}$。したがって曲線 $C$ は

$$y=-\sin^4\theta=-(1-\sqrt{x})^2\qquad(0\leq x\leq1)$$

と表される。接線と曲線との差は

$$\displaystyle \left(\frac{x}{3}-\frac14\right)-\left[-(1-\sqrt{x})^2\right]=\frac43x+\frac34-2\sqrt{x}=\frac43\left(\sqrt{x}-\frac34\right)^2\geq0.$$

したがって接点の $x$ 座標 $\displaystyle \frac9{16}$ まで接線が曲線の上側にあり、囲まれた部分の面積は

$$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_0^{9/16}\left\{\left(\frac{x}{3}-\frac14\right)-\left[-(1-\sqrt{x})^2\right]\right\}dx\\ &=\int_0^{9/16}\left(\frac43x+\frac34-2\sqrt{x}\right)dx\\ &=\left[\frac23x^2+\frac34x-\frac43x^{3/2}\right]_0^{9/16}\\ &=\frac{27}{128}+\frac{54}{128}-\frac{72}{128}=\frac9{128}. \end{aligned}$$

ゆえに

$$128S=9.$$

使用解法

媒介変数表示から接線を求め、曲線を $y$ の関数として表して定積分で面積を計算。

issues

なし。