4自治医科大学 2014年 数学 第4問解答・解説

対数の真数が正である必要があるので、$x+1>0$ かつ $x-1>0$、すなわち $x>1$。整数条件を合わせると候補は $x\ge 2$ の整数である。

底の変換より $\displaystyle \log_4(x-1)=\frac12\log_2(x-1)$ だから、左辺は $$\begin{aligned} \log_2(x+1)+4\log_4(x-1) &=\log_2(x+1)+2\log_2(x-1)\\ &=\log_2\bigl((x+1)(x-1)^2\bigr). \end{aligned}$$ 底 $2>1$ の対数は真数が $1$ より大きいとき、かつそのときに限り正である。候補の最小値 $x=2$ では真数が $$(2+1)(2-1)^2=3>1$$ となる。したがって $x=2$ は不等式を満たし、定義域からこれより小さい整数は許されないので、これが最小である。

最終結果・使用解法

最小の整数は $2$（選択肢 $\text{サ}$）。定義域を整数条件に反映し、対数の底をそろえて最小候補を調べた。

点検

$x=2$ では元の左辺は $\log_2 3+4\log_4 1=\log_2 3>0$。定義域と最小性も確認した。問題文に判読上の不明点はない。