3浜松医科大学 2016年 数学 第3問解答・解説

(1) $x>0$ なので両辺の自然対数をとると $$2^x=x^2\quad\text{すなわち}\quad f(x):=2\log x-x\log 2=0.$$ $f(2)=f(4)=0$ である。また $$\displaystyle f'(x)=\frac{2}{x}-\log 2$$ は $x>0$ でただ一度だけ $0$ となる。その点を $c=2/\log 2$ とすると、$f'(x)>0$ は $0<x<c$ で、$f'(x)<0$ は $x>c$ である。したがって $f$ は $0<x<c$ で増加し、$x>c$ で減少する。$c$ は $2<c<4$ を満たす。実際、$c\le2$ または $c\ge4$ なら $2\le x\le4$ では $x$ が増えると $f(x)$ は増加し続けるか減少し続けることになり、$f(2)=f(4)$ に反する。異なる二つの解 $2,4$ があるので、この二つは増加区間と減少区間に一つずつあり、各区間では解は高々一つである。よって実数解は $x=2,4$ の二つである。

(2)(a) $x>0$ として両辺の自然対数をとると $$\displaystyle a^x=x^a\quad\text{すなわち}\quad \frac{\log x}{x}=\frac{\log a}{a}.$$ $\displaystyle h(t)=\dfrac{\log t}{t}$ とおくと $$\displaystyle h'(t)=\frac{1-\log t}{t^2}.$$ したがって $h$ は $0<t<e$ で増加し、$t>e$ で減少する。また $h(1)=0$, $h(e)=1/e$ であり、与えられた極限公式に $u=\log t$ を代入すれば $$\displaystyle \lim\limits _{t\to\infty}h(t)=\lim\limits _{u\to\infty}\frac{u}{e^u}=0$$ を得る。

$0<a<1$ のとき $h(a)<0$ であり、$h(x)<0$ となるのは $0<x<1$ に限る。この区間で $h$ は増加するので、解 $x=a$ がただ一つである。$a=1$ のときは $h(x)=0$ より $x=1$ のみである。$a>1$ のとき $h(a)>0$ である。$a=e$ ならばこの値は最大値 $1/e$ なので解は $x=e$ の一つだけである。$a>1$, $a\ne e$ ならば $0<h(a)<1/e$ であるから、増加する範囲 $1<x<e$ と減少する範囲 $x>e$ に一つずつ解がある。よってこの場合は二つである。

(2)(b) $a,x$ は正の整数なので、正の数のべきの性質から $$a^x=x^a\quad\text{すなわち}\quad a^{1/a}=x^{1/x}$$ である。正の整数 $n$ に対し $u_n=n^{1/n}$ とおく。$n\geq3$ なら二項定理より $$\displaystyle \left(1+\frac1n\right)^n =\sum\limits _{k=0}^{n}\binom nk\frac1{n^k} \leq\sum\limits _{k=0}^{n}\frac1{k!}<3\leq n.$$ ここで $\displaystyle \binom nk/n^k\leq1/k!$ を用いた。また $k\geq2$ では $k!\geq2^{k-1}$ なので、$\displaystyle \sum\limits _{k=0}^{n}1/k!<3$ である。上の不等式は $(n+1)^n<n^{n+1}$ と同値であり、両辺を正の $n(n+1)$ 乗根で比較すると $u_{n+1}<u_n$ となる。さらに $n\ge2$ なら $u_n=n^{1/n}>1$ である。また $$u_1=1,\qquad u_2=\sqrt2=u_4,\qquad u_3>u_2$$ であり、最後の不等式は $3^2>2^3$ による。$n\geq3$ で $u_{n+1}<u_n$ が成り立つから、異なる正整数で値が等しくなるのは添字 $2$ と $4$ の場合だけである。したがって $(a,x)=(2,4),(4,2)$ である。