2浜松医科大学 2016年 数学 第2問解答・解説

(1) 方程式を整理すると$$rx(1-x)=x\quad\text{と同値な式は}\quad x\{r(1-x)-1\}=0.$$したがって、$x=0$ または $\displaystyle x=1-\frac1r=\frac{r-1}{r}$ である。　 以下では $\displaystyle x_r=\frac{r-1}{r}$ とする。これは $r>1$ より正であり、$f(x_r)=x_r$ を満たす。また、$f'(x)=r(1-2x)$ だから $f'(x_r)=2-r$ である。　 (2) 条件より $k-|r-2|>0$、また $r>1$ であるから、$$\displaystyle a=\frac{k-|r-2|}{2r}$$とおけば $a>0$ である。このとき $|x-x_r|<a$ ならば$$|f'(x)|=|f'(x_r)-2r(x-x_r)|\le |r-2|+2r|x-x_r|<|r-2|+2ra=k.$$よって、この正の $a$ は求める条件を満たす。　 (3)(a) 数学的帰納法で示す。$n=1$ では仮定から $|x_1-x_r|<a$ である。ある自然数 $n$ で $|x_n-x_r|<a$ とする。もし $x_n=x_r$ ならば $x_{n+1}=f(x_r)=x_r$ なので、$|x_{n+1}-x_r|=0<a$ である。$x_n\ne x_r$ のときは $\displaystyle m=\frac{x_n+x_r}{2}$ とおくと、$\displaystyle |m-x_r|=\frac12|x_n-x_r|<a$ であるから、(2)より $|f'(m)|<k$ である。また、$f(u)-f(v)=r(u-v)(1-u-v)$ および $f'(m)=r(1-x_n-x_r)$ より$$|x_{n+1}-x_r|=|f(x_n)-f(x_r)|=|f'(m)|\,|x_n-x_r|<k|x_n-x_r|<a,$$ここで最後の不等号には $k<1$ と帰納法の仮定を用いた。以上から、すべての自然数 $n$ について $|x_n-x_r|<a$ である。　 (3)(b) 上の計算から、$x_n\ne x_r$ ならば $|x_{n+1}-x_r|<k|x_n-x_r|$ であり、$x_n=x_r$ ならば以後ずっと $x_{n+1}=x_r$ である。したがって、すべての $n$ について $|x_{n+1}-x_r|\le k|x_n-x_r|$ であり、帰納的に$$0\le |x_n-x_r|\le k^{n-1}|x_1-x_r|.$$条件から $0<k<1$ なので、等比数列の極限より右辺は $0$ に収束する。はさみうちにより $|x_n-x_r|\to0$、したがって $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}x_n=x_r$ である。