1浜松医科大学 2016年 数学 第1問解答・解説

(1) $24=2^3\cdot3$ の正の約数は $1,2,3,4,6,8,12,24$ である。したがって $$f(24)=1+2+3+4+6+8+12+24=60,\qquad g(24)=8.$$

(2) $n$ の正の約数 $d$ に対して $n/d$ も正の約数であり、$d$ と $n/d$ は組になる。この組が一つの約数だけからなるのは $d=n/d$、すなわち $n=d^2$ の場合に限る。平方数でなければ全ての組が異なる二つの約数からなるため $g(n)$ は偶数である。したがって $g(n)$ が奇数ならば $n$ は自然数の平方である。

(3) $r=2^m-1$ とおく。仮定より $r$ は素数であり、$m\ge2$ なので $r$ は2と異なる奇素数である。したがって $n=2^{m-1}r$ の正の約数は $$2^a,\quad 2^a r\qquad(a=0,1,\ldots,m-1)$$ である。よって $$f(n)=(1+r)(1+2+\cdots+2^{m-1}) =2^m(2^m-1)=2n.$$

(4) $d\mapsto n/d$ は $n$ の正の約数全体の上の一対一対応なので $$\displaystyle \sum\limits _{d\mid n}\frac1d =\frac1n\sum\limits _{d\mid n}\frac nd =\frac1n\sum\limits _{e\mid n}e =\frac{f(n)}n=2.$$ 求める一定の数は $\boxed{2}$ である。