2札幌医科大学 2017年 数学 第2問解答・解説

漸化式は $z_{n+1}=(1+ti)z_n$ なので、順に掛けると $$z_n=\alpha(1+ti)^{n-1}.$$

(1) $z_n=x_n+iy_n$ とおくと $$z_{n+1}=(1+ti)(x_n+iy_n)=(x_n-ty_n)+i(y_n+tx_n).$$ したがって $P_n=(x_n,y_n)$ と $P_{n+1}$ の座標について、次の積の差を計算する。 $$x_n(y_n+tx_n)-y_n(x_n-ty_n)=t(x_n^2+y_n^2).$$ 三角形 $OP_nP_{n+1}$ の面積は、底辺と高さから $\displaystyle \frac12|u||v|\sin\theta$（$\theta$ は $u=\overrightarrow{OP_n}$ と $v=\overrightarrow{OP_{n+1}}$ のなす角）である。また座標を展開すると $$(u_1v_2-u_2v_1)^2=(u_1^2+u_2^2)(v_1^2+v_2^2)-(u_1v_1+u_2v_2)^2.$$ 内積 $u\cdot v=|u||v|\cos\theta$ を代入すれば $|u_1v_2-u_2v_1|=|u||v|\sin\theta$ となるので、面積は $|u_1v_2-u_2v_1|$ の半分である。今回、この積の差は $t(x_n^2+y_n^2)\ge0$ であり、$t>0$ に注意して $$\displaystyle \boxed{\frac{t}{2}|z_n|^2 =\frac{t}{2}|\alpha|^2(1+t^2)^{n-1}}.$$

(2)(3)では $\theta=5\pi/12$ とする。$0<\theta<\pi/2$ より $$1+i\tan\theta=\sec\theta(\cos\theta+i\sin\theta).$$ また $\alpha=-1+\sqrt3 i$ は絶対値2、偏角 $2\pi/3$ である。よって $z_n$ の偏角は $$\displaystyle \frac{2\pi}{3}+(n-1)\frac{5\pi}{12} =\frac{(5n+3)\pi}{12}.$$ 絶対値は0でないため、$z_n$ が正の実数となる必要十分条件は、この角が $2\pi\ell$（$\ell$ は整数）となること。すなわち $$5n+3=24\ell.$$ これを5で割った余りで見ると $4\ell\equiv3\pmod5$ だから、$\ell=5j+2$ と書ける。すると $n=24j+9$。正の整数 $n$ となるのは $j=0,1,2,\ldots$ であり、 $$m_1=9,\qquad \boxed{m_k=24(k-1)+9=24k-15\quad(k=1,2,\ldots)}.$$

(2)では $m_1=9$ なので $$|z_9|=2(\sec\theta)^8.$$ 加法定理から $\cos75^\circ=(\sqrt6-\sqrt2)/4$、したがって $\sec\theta=\sqrt6+\sqrt2$。また $$(\sqrt6+\sqrt2)^2=4(2+\sqrt3),\qquad (2+\sqrt3)^4=97+56\sqrt3$$ より $$X:=|z_9|=2(\sqrt6+\sqrt2)^8=512(97+56\sqrt3).$$ $1<\sqrt3<2$ を使えば $$78{,}336<X<107{,}008,$$ 特に $55{,}000<X<550{,}000$。ここで $55{,}000$ は $10^4$ と $10^5$ の中点、$550{,}000$ は $10^5$ と $10^6$ の中点である。従って $X$ は $10^5$ に最も近い。より小さい十の冪はすべて $10^4$ 以下、より大きい十の冪はすべて $10^6$ 以上なので、他の自然数 $p$ でも距離は小さくならない。 $$\boxed{p=5}.$$