札幌医科大学 2017年数学第3問解答・解説

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1問題

札幌医科大学2017年度第3問

3 gのおもり1個が片方の皿にのっているてんびんと，無数に用意された1 g，2 g，3 gのおもりがある。以下の2つのルールに基づいて，てんびんの皿におもりを1個ずつのせる試行を行う。

1. てんびんがつり合っていないときには，総重量が軽い方の皿に1 g，2 g，3 gのおもりを無作為に1個選んでのせる。それぞれのおもりが選ばれる確率は， $0<a<1$ として $\displaystyle \frac{a}{2},\ \frac{a}{2},\ 1-a$ である。

2. てんびんがつり合った時点で試行をやめる。

$n$ 回目の試行の結果，てんびんがつり合っていない確率を $p_{n}$ ，てんびんがつり合って試行が終了する確率を $q_{n}$ とするとき，以下の各問に答えよ。

(1) $p_{1}$ と $p_{2}$ をそれぞれ $a$ を用いて表せ。

(2) $p_{n}$ の一般項を $a$ と $n$ を用いて表せ。

(3) $q_{n}$ の一般項を $a$ と $n$ を用いて表せ。

(4) $\displaystyle\sum\limits _{n=1}^{\infty}nq_{n}$ を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\quad p_1=a,\space{}p_2=a(1-a/2)\quad$ 。 (2) $\quad p_n=a(1-a/2)^{n-1}\quad$ 。 (3) $\quad q_1=1-a\quad$ , $\displaystyle \quad q_n=\dfrac{a^2}{2}(1-a/2)^{n-2}\quad$ ( $\quad n\ge2\quad$ )。 (4) $\displaystyle \quad \sum\limits _{n=1}^{\infty}nq_n=3\quad$ .

3解答

解答を見る途中式つきの解答

不つり合い時は左右の皿の重さの差が1gまたは2g。その差に一致する重さを選ぶ確率は $a/2$ なので、次回も不つり合いである確率は $1-a/2$ 。

(1) 1回目に1gまたは2gを選ぶ確率は $a$ 、3gで直ちにつり合う確率は $1-a$ 。従って $p_1=a,q_1=1-a$ 、また $p_2=a(1-a/2)$ 。

(2) 漸化式 $p_n=(1-a/2)p_{n-1}$ より $p_n=a(1-a/2)^{n-1}$ 。

(3) $n\ge2$ で初めてつり合う確率は $q_n=(a/2)p_{n-1}=(a^2/2)(1-a/2)^{n-2}$ 。

(4) $r=1-a/2$ とおく。 $0<r<1$ で、等比級数から $\displaystyle \sum\limits _{k\ge0}r^k=1/(1-r)$ 。 $\displaystyle T=\sum\limits _{k\ge1}kr^k$ とすると、項をずらして引くことにより $\displaystyle (1-r)T=\sum\limits _{k\ge1}r^k=r/(1-r)$ 、従って $T=r/(1-r)^2$ 。よって $\displaystyle \sum\limits _{n\ge1}nq_n=1-a+\frac{a^2}{2}\left(\frac{r}{(1-r)^2}+\frac2{1-r}\right)=3.$

この問題で使う考え方

試行状態の漸化式
初回終了確率
等比級数と重み付き和

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