4札幌医科大学 2017年 数学 第4問解答・解説

(1) $\displaystyle A=\int_1^e tf(t)\,dt$ とおくと $f(x)=2\log x-A$。これを代入して部分積分すると $$\displaystyle A=\frac{e^2+1}{2}-A\frac{e^2-1}{2},\qquad A=1.$$ 従って $\boxed{f(x)=2\log x-1}$（$x>0$）。実際 $\displaystyle \int_1^e t(2\log t-1)\,dt=[t^2\log t-t^2]_1^e=1$ である。

(2) 接点の横座標を $u>0$ とする。接線 $y=2(x-u)/u+2\log u-1$ が原点を通る条件は $2\log u-3=0$。よって $$\displaystyle \boxed{(u,v)=(e^{3/2},2)},\qquad l:y=\frac{2x}{u}.$$

(3) 曲線と $x$ 軸の交点の横座標は $a=\sqrt e$。$L(x)=2x/u$ とおくと、$0<x<u$ で $(L-f)'=2/u-2/x<0$、$L(u)=f(u)$ より $L(x)>f(x)$。また $a\le x\le u$ で $f(x)\ge0$。従って回転体の断面は $0\le x\le a$ では円板、$a\le x\le u$ では円環であり、 $$\displaystyle V=\pi\int_0^u\frac{4x^2}{u^2}\,dx-\pi\int_a^u(2\log x-1)^2\,dx.$$ 部分積分で得られる原始関数 $x\{4(\log x)^2-12\log x+13\}$ を用いて $$\displaystyle V=\pi\left\{\frac{4u}{3}-(4u-8a)\right\}=\boxed{\frac{8\pi\sqrt e(3-e)}3}.$$