III鳥取大学 2010年 数学 第III問解答・解説

第III問（グラフ追記版） $f(x)=xe^{-x}$ とする。 $$f'(x)=(1-x)e^{-x},\qquad f''(x)=(x-2)e^{-x}.$$ 従って $f$ は $x<1$ で増加、$x>1$ で減少し、極大点は $(1,1/e)$。$x<2$ で上に凸、$x>2$ で下に凸、変曲点は $(2,2/e^2)$。さらに $x\to-\infty$ で $f(x)\to-\infty$、$x\to+\infty$ で $f(x)\to0^+$ であり、グラフは次の通り。

接点を $x=t$ とすると接線は $$y=(1-t)e^{-t}(x-t)+te^{-t}.$$ これが $(-1/2,0)$ を通る条件は $2t^2+t-1=0$、すなわち $t=-1,1/2$。2本の接線は $$\displaystyle y=2ex+e,\qquad y=\frac{e^{-1/2}}2x+\frac{e^{-1/2}}4.$$

両接線は点 $(-1/2,0)$ で交わる。左側の接線は $-1\le x\le-1/2$、右側の接線は $-1/2\le x\le1/2$ で曲線の上側境界となる。従って囲まれた面積は $$\displaystyle \begin{aligned} S={}&\int_{-1}^{-1/2}(2ex+e-xe^{-x})\,dx\\ &+\int_{-1/2}^{1/2}\left(\frac{e^{-1/2}}2x+\frac{e^{-1/2}}4-xe^{-x}\right)\,dx\\ ={}&\boxed{\frac{7e^{-1/2}-e}{4}}. \end{aligned}$$