I鳥取大学 2010年 数学 第I問解答・解説

正五角形の各内角は $108^\circ$、外接円の隣り合う頂点に対する中心角は $72^\circ$ である。

(1) $AB=BC$ なので $\triangle ABC$ は二等辺三角形であり、$\angle ABC=108^\circ$ から $$\angle BCA=\angle BAC=36^\circ.$$ また、$\angle CAD$ は弧 $CD$ に対する円周角である。弧 $CD$ の中心角が $72^\circ$ だから $\angle CAD=36^\circ$。したがって、直線 $AC$ を横切る $BC,AD$ の錯角が等しく、$BC\parallel AD$。

(2) $AC=AD$ は等しい対角線の長さである。$\triangle ACD$ の頂角 $\angle CAD=36^\circ$ なので、底角は $\angle ACD=\angle CDA=72^\circ$。正五角形の内角より $\angle CDE=108^\circ$ であり、$AC$ と $DE$ を横切る $CD$ の同側内角の和は $180^\circ$。よって $AF\parallel DE$（$F$ は $AC$ 上）。

同様に、弧 $BD$（$A$ を含まない方）は二辺分なので $\angle BAD=72^\circ$。$AD=BD$ より $\triangle ABD$ で $\angle ABD=72^\circ$。また $\angle BAE=108^\circ$ で、直線 $AB$ に対する同側内角の和が $180^\circ$ だから $BD\parallel AE$。$F$ は $BD$ 上なので $FD\parallel AE$。四角形 $AFDE$ は向かい合う2組の辺がそれぞれ平行な平行四辺形である。さらに隣り合う辺 $DE=EA=1$ だから、4辺が等しく、$AFDE$ はひし形。

(3) $d=AC=AD$ とおく。ひし形より $AF=DE=1$。正五角形なので $BC=CD=1$、$\angle BCD=108^\circ$。したがって二等辺三角形 $BCD$ の底角は $\angle CBD=\angle BDC=36^\circ$。三角形 $BFC$ と $ABC$ について、$\angle CBF=\angle CBD=36^\circ$、$\angle BCF=\angle BCA=36^\circ$ で、残る角はいずれも $108^\circ$。よって両三角形は相似であり、対応する辺から $$\displaystyle \frac{FC}{BC}=\frac{BC}{AC}=\frac1d.$$ $BC=1$ なので $FC=1/d$。また $F$ は線分 $AC$ 上にあるから $$\displaystyle d=AC=AF+FC=1+\frac1d.$$ $d>0$ より $d^2-d-1=0$ の正の解をとり、$d=(1+\sqrt5)/2$、従って $d-1=1/d=(\sqrt5-1)/2$。

(1)の平行関係と頂点の順から、$\overrightarrow{AD}$ と $\overrightarrow{BC}=\vec b$ は同方向で、$|AD|/|BC|=d$ だから $\overrightarrow{AD}=d\vec b$。一方、経路 $A\to B\to C\to D$ に沿って $$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\vec a+\vec b+\overrightarrow{CD}.$$ これを解いて $$\displaystyle \overrightarrow{CD}=(d-1)\vec b-\vec a=\frac{\sqrt5-1}{2}\vec b-\vec a.$$