2秋田大学 2010年 数学 第2問解答・解説

数学確認 三角形 OAB の辺長を $OA=a$, $OB=b$, $AB=p$ とする。内心の面積座標は、頂点 O,A,B に対して反対辺長 $p,b,a$ を重みとする。Oを原点とすれば $$\displaystyle \overrightarrow{OI}=\frac{b\overrightarrow a+a\overrightarrow b}{a+b+p}.$$ 原文座標では $|OA|=|AB|=\sqrt2$, $|OB|=\sqrt6$。この式から $$\displaystyle I=\left(\frac{3-\sqrt3}{2},\frac{3(\sqrt3-1)}2\right).$$ $|OB|=|OC|=|BC|=\sqrt6$ より OBC は正三角形で、その内心は重心である。従って $$\displaystyle I'=\left(\frac{1-\sqrt3}{2},\frac{1+\sqrt3}{2}\right),\qquad \overrightarrow{II'}=(-1,2-\sqrt3).$$ 原文の $\overrightarrow{OA}=(1,1)$ との内積から $$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{II'}=1-\sqrt3, \quad |OA|=\sqrt2, \quad |II'|=2\sqrt{2-\sqrt3}.$$ 分母は $2(\sqrt3-1)$ なので $$\displaystyle \cos\theta=\frac{1-\sqrt3}{2(\sqrt3-1)}=-\frac12.$$

指定旧答 F01/B01 は最終値と導出で一致する。F01の面積重みの説明とB01の角二等分線・内接円による説明はいずれも妥当。解答本文の変更なし、表示タグの差分なし。単元分類は F01 の数学A「図形の性質」、数学C「ベクトル」、数学II「図形と方程式」を保持する。