3兵庫医科大学 2021年 数学 第3問解答・解説

3 (1) 三角形 $ADB$ に余弦定理を用いると $$c^2=d^2+m^2-2dm\cos\theta.$$ したがって $$\displaystyle \boxed{\cos\theta=\frac{d^2+m^2-c^2}{2dm}}.$$

(2) $\angle ADC=\pi-\theta$ である。三角形 $ACD$ に余弦定理を用いると $$b^2=d^2+n^2-2dn\cos(\pi-\theta)=d^2+n^2+2dn\cos\theta.$$ (1)の関係と三角形 $ADB$ の余弦定理を辺の二乗の式として用い、両式にそれぞれ $m,n$ を掛けると $$\begin{aligned} b^2m+c^2n &=m(d^2+n^2+2dn\cos\theta)+n(d^2+m^2-2dm\cos\theta)\\ &=(m+n)d^2+mn(m+n)\\ &=a(d^2+mn), \end{aligned}$$ ここで $m+n=BC=a$ を使った。よって示された。

(3) $\overrightarrow{AB}=\vec u$, $\overrightarrow{AC}=\vec v$ とすると、重心の定義より $$\displaystyle \overrightarrow{AG}=\frac{\vec u+\vec v}{3}.$$ $|\vec u|=c$, $|\vec v|=b$ なので $$9AG^2=b^2+c^2+2bc\cos\angle BAC.$$ 一方、余弦定理から $a^2=b^2+c^2-2bc\cos\angle BAC$。これを代入して $$\displaystyle \boxed{AG=\frac13\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}.$$

(4) 角の二等分線定理から $$BD':D'C=AB:AC=c:b,$$ ゆえに $BD'=ac/(b+c)$、$CD'=ab/(b+c)$。問(2)の式を $D'$ に適用し、$AD'=d'$ とおくと $$\displaystyle b^2\frac{ac}{b+c}+c^2\frac{ab}{b+c} =a\left((d')^2+\frac{a^2bc}{(b+c)^2}\right).$$ 両辺を整理して $$\displaystyle (d')^2=bc\left(1-\frac{a^2}{(b+c)^2}\right).$$ ここで $\angle BAC=90^\circ$ だから $a^2=b^2+c^2$。従って $$\displaystyle (d')^2=\frac{2b^2c^2}{(b+c)^2},\qquad \boxed{AD'=\frac{\sqrt2bc}{b+c}}.$$

(5) 外心 $O$ を原点として $\overrightarrow{OA}=\vec u$, $\overrightarrow{OB}=\vec v$, $\overrightarrow{OC}=\vec w$ とおくと $|\vec u|=|\vec v|=|\vec w|=R$、また $\overrightarrow{OG}=(\vec u+\vec v+\vec w)/3$ である。辺の長さの二乗の和は $$a^2+b^2+c^2=|\vec v-\vec w|^2+|\vec w-\vec u|^2+|\vec u-\vec v|^2 =6R^2-2(\vec u\cdot\vec v+\vec v\cdot\vec w+\vec w\cdot\vec u).$$ 一方 $$9OG^2=|\vec u+\vec v+\vec w|^2 =3R^2+2(\vec u\cdot\vec v+\vec v\cdot\vec w+\vec w\cdot\vec u).$$ 上の二式から $$\displaystyle \boxed{OG=\sqrt{R^2-\frac{a^2+b^2+c^2}{9}}}.$$