2兵庫医科大学 2021年 数学 第2問解答・解説

2 借入直後の残高を $a_0=m$ とし、月利率を $r$、毎月の返済額を $x$ 万円とする。

(1) 1か月後、利子を加えた残高は $(1+r)m$ 万円である。ここから1回目の返済をすると残高は $$\boxed{a_1=(1+r)m-x}\quad\text{（万円）}.$$

(2) $k-1$ 回目の返済後の残高に1か月分の利子を加えてから $x$ 万円を返すので $$\boxed{a_k=(1+r)a_{k-1}-x}\qquad(k\ge1).$$

(3) 漸化式を繰り返すと $$\displaystyle a_k=(1+r)^k m-x\sum\limits _{j=0}^{k-1}(1+r)^j =(1+r)^k m-x\frac{(1+r)^k-1}{r}.$$ 返済終了時に $a_y=0$ だから $$\displaystyle rm(1+r)^y=x\{(1+r)^y-1\},\qquad (1+r)^y=\frac{x}{x-rm}.$$ 有限回で完済するには $x>rm$ が必要であり、この条件のもと $$\displaystyle \boxed{y=\frac{\log\!\left(\dfrac{x}{x-rm}\right)}{\log(1+r)}}.$$

(4) $r,m$ を固定し、$x>rm$ とする。上式を $y=f(x)$ とおく。微分すると $$\displaystyle f'(x)=-\frac{rm}{x(x-rm)\log(1+r)}<0,$$ $$\displaystyle f''(x)=\frac{rm(2x-rm)}{x^2(x-rm)^2\log(1+r)}>0.$$ よって定義域 $x>rm$ で単調減少し、グラフは下に凸である。また $$\displaystyle \lim\limits _{x\to rm+}f(x)=+\infty,\qquad \lim\limits _{x\to\infty}f(x)=0+.$$ 従って $x=rm$ が垂直漸近線、$y=0$ が水平漸近線となり、グラフはこれらに近づきながら正の範囲で右下がりに下に凸となる。

(5) 月利率は $r=15/(12\cdot100)=1/80$、$m=1000$、$x=15$ である。従って $$\displaystyle (1+r)^y=\frac{15}{15-1000/80}=6, \qquad y=\frac{\log_{10}6}{\log_{10}(81/80)}.$$ 与えられた対数値から $$\log_{10}6\simeq0.3010+0.4771=0.7781,$$ $$\log_{10}(81/80)=4\log_{10}3-3\log_{10}2-1\simeq0.0054,$$ ゆえに $y\simeq0.7781/0.0054\simeq144.1$（より細かく評価しても約144.2）であり、$144<y<145$。実際、144回の返済後には残高が正で、145回目に通常額15万円を払うと超過するため、最終返済額を15万円以下に調整して完済する月は145か月目である。したがって返済期間は $$\boxed{12\text{年}1\text{か月}}.$$

(4)の概形。x>rmで減少して下に凸、x=rmとy=0が漸近線。図の目盛は概形用であり、数値的r,mは指定しない。