1兵庫医科大学 2021年 数学 第1問解答・解説

1 (1) くじの総数を $N$ 本とする。当たりくじは5本なので $$\displaystyle \frac{\binom52}{\binom N2}=\frac5{39}.$$ 従って $N(N-1)=156$。正の整数解は $N=13$ であり、はずれくじは $13-5=\boxed{8}$ 本である。実際、$\displaystyle \binom52/\binom{13}2=10/78=5/39$。

(2) 球の半径は、中心 $(-1,2,3)$ から接平面 $x=3$ までの距離なので $4$。平面 $y=4$ までの距離は $|2-4|=2$ であり、円の中心は垂線の足 $(-1,4,3)$ である。球の断面円の半径を $\rho$ とすると、中心から切断面までの距離と直角三角形を作るので $$\rho=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt3.$$ よって中心は $\boxed{(-1,4,3)}$、半径は $\boxed{2\sqrt3}$。

(3) $u=x^3$ とおくと $du=3x^2dx$、$x^5dx=u\,du/3$ である。積分区間は $u=-1$ から $0$ となるから $$\displaystyle \begin{aligned} \int_{-1}^{0}\frac{x^5}{(x^3-1)^2}\,dx &=\frac13\int_{-1}^{0}\frac{u}{(u-1)^2}\,du\\ &=\frac13\left[\ln|u-1|-\frac1{u-1}\right]_{-1}^{0}\\ &=\frac13\left\{1-\left(\ln2+\frac12\right)\right\} =\boxed{\frac16-\frac{\ln2}{3}}. \end{aligned}$$ 被積分関数は区間内で負であり、値も負になることを確認できる。

(4) ユークリッドの互除法より $$8357-7747=610,\quad 7747=12\cdot610+427,\quad 610=427+183,$$ $$427=2\cdot183+61,\quad183=3\cdot61.$$ したがって最大公約数は61であり、 $$\displaystyle \frac{7747}{8357}=\boxed{\frac{127}{137}}.$$ $127$ と $137$ に共通の素因数はなく、これ以上約分できない。

(5) 倍角公式から $2\sin^2x-2=-1-\cos2x$ である。また $$\displaystyle \sqrt3\sin2x-\cos2x=2\sin\left(2x-\frac\pi6\right).$$ よって $$\displaystyle y=2\sin\left(2x-\frac\pi6\right)-1.$$ $0\le x<\pi$ のとき $-\pi/6\le 2x-\pi/6<11\pi/6$ であり、この範囲に正弦の最大値1をとる $2x-\pi/6=\pi/2$ と最小値 $-1$ をとる $2x-\pi/6=3\pi/2$ の両方が含まれる。従って最大値は $\boxed{1}$（$x=\boxed{\pi/3}$）、最小値は $\boxed{-3}$（$x=\boxed{5\pi/6}$）。