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東京医科歯科大学／2025年度／前期

東京医科歯科大学 2025年 数学 第1問解答・解説

図形と計量図形と方程式図形の性質場合の数と確率ベクトル数学的な表現の工夫

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1問題

東京医科歯科大学2025年度第1問

1\boxed{1} 20個の合同な正三角形の面を持ち，各頂点に5つの面が集まるへこみのない多面体を，正二十面体という。各面に20種類の異なる目が1つずつ与えられており，すべての目が等しい確率で出る正二十面体のサイコロをIIとする。IIの2つの面A,BA,Bに対し，IIの表面上を，AAの内部の点からBBの内部の点へ，IIの頂点を通らずに移動するとき，横切るIIの辺の本数の最小値をd(A,B)d(A,B)とする。たとえば，AAとBBが1辺を共有しているとき，d(A,B)=1d(A,B)=1となる。また，IIの任意の面AAに対し，d(A,A)=0d(A,A)=0とする。さらに，IIをnn回投げたとき，ii回目に出た目に対応する面をFiF_iとし，n≧2n\geq 2のとき，d(Fi,Fj) (1≦i<j≦n)d(F_i,F_j)\ (1\leq i<j\leq n)の最大値をMM，最小値をmmとする。このとき，以下の各問いに答えよ。

(1) xyzxyz空間において，IIの1つの面とxyxy平面が平行となるようにIIを配置したとき，IIの頂点または辺上の点を通りzz軸に平行な直線とxyxy平面の交点全体の集合がなす図形をI′I'とする。I′I'の概形を描け。ただし，I′I'における線分どうしの長さの比やなす角の角度は正確でなくてもよい。

(2) n=2n=2のとき，0以上の整数kkに対し，d(F1,F2)=kd(F_1,F_2)=kとなる確率をPkP_kとする。Pk>0P_k>0となるすべてのkkに対して，それぞれPkP_kを求めよ。

(3) n=3n=3のとき，M≧3M\geq 3となる確率を求めよ。

(4) n≧3n\geq 3のとき，m≧3m\geq 3となる確率を求めよ。

(5) n≧10n\geq 10のとき，1≦m≦M≦41\leq m\leq M\leq 4となる確率を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

空間座標から正射影図を実際に作り、20面を三頂点で番号付けする。辺共有・頂点共有を表で有限列挙して距離と候補面数を根拠付きで求め、最後に場合の数と確率へ移す。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1) 投影図を参照。外周6辺・内側6辺・内外18辺。
    (2) P0=120, P1=320, P2=310, P3=310, P4=320, P5=120.\displaystyle (2)\space{}P_0=\frac1{20},\space{}P_1=\frac3{20},\space{}P_2=\frac3{10},\space{}P_3=\frac3{10},\space{}P_4=\frac3{20},\space{}P_5=\frac1{20}.
    (3) 3340.\displaystyle (3)\space{}\frac{33}{40}.
    (4) n=3:340, n=4:32000, n≧5:0.\displaystyle (4)\space{}n=3:\frac3{40},\space{}n=4:\frac3{2000},\space{}n\ge5:0.
    (5) n=10:10!1010, n≧11:0.\displaystyle (5)\space{}n=10:\frac{10!}{10^{10}},\space{}n\ge11:0.

4解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) φ=(1+5)/2\varphi=(1+\sqrt5)/2 と置く。正二十面体の頂点を次の12点で実現し、番号を付ける。φ2=φ+1\varphi^2=\varphi+1 を用いて距離を計算すると、辺の長さはすべて 22 で、各頂点から5辺が出る。 jvjjvj0(−φ,0,−1)6(0,1,−φ)1(−φ,0,1)7(0,1,φ)2(−1,−φ,0)8(1,−φ,0)3(−1,φ,0)9(1,φ,0)4(0,−1,−φ)10(φ,0,−1)5(0,−1,φ)11(φ,0,1)\begin{array}{c|cc|c} j&v_j&j&v_j\\\hline 0&(-\varphi,0,-1)&6&(0,1,-\varphi)\\ 1&(-\varphi,0,1)&7&(0,1,\varphi)\\ 2&(-1,-\varphi,0)&8&(1,-\varphi,0)\\ 3&(-1,\varphi,0)&9&(1,\varphi,0)\\ 4&(0,-1,-\varphi)&10&(\varphi,0,-1)\\ 5&(0,-1,\varphi)&11&(\varphi,0,1) \end{array} 面 0=(0,1,2)0=(0,1,2) を水平にして鉛直方向から見る。外側の6点を上から時計回りに O0,…,O5=(3,7,5,8,4,6)O_0,\ldots,O_5=(3,7,5,8,4,6)、内側の6点を同じ順に I0,…,I5=(9,1,11,2,10,0)I_0,\ldots,I_5=(9,1,11,2,10,0) とする。面0の法線方向の成分を引くと、中心からの距離の二乗は外側6点で 4φ2/34\varphi^2/3、内側6点で 4/34/3 となる。したがって正射影では外側・内側が同心の正六角形となり、半径の比は φ:1\varphi:1 である。辺は添字を6で割った余りで読み、OiOi+1O_iO_{i+1} が6本、IiIi+2I_iI_{i+2} が6本、IiOi−1,IiOi,IiOi+1I_iO_{i-1},I_iO_i,I_iO_{i+1} が18本で、計30本。したがって求める概形は次の図である。図の線の交点は、番号付きの点以外は頂点ではない。

丸で囲まれた0〜11を頂点とする図で、外側は上から時計回りに3,7,5,8,4,6、内側に0,1,2と9,10,11がある。太い黒線は外側の六角形と三角形0–1–2、9–10–11を結ぶ。細い灰色線は3から0,1,9、6から0,9,10、4から0,2,10、8から2,10,11、5から1,2,11、7から1,9,11へ結ぶ。

この問題で使う考え方

  • 空間図形の計量
  • 座標による距離
  • 空間図形の性質
  • 図形の作図
  • 組合せ
  • 順列
  • 確率の基本法則
  • 余事象

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