2東京医科歯科大学 2025年 数学 第2問解答・解説

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=m(2,4)+n(3,7)=(2m+3n,4m+7n)$ である。よって点 $P=(x,y)$ が $L$ に属する条件は，ある整数 $m,n$ が存在して $x=2m+3n,\ y=4m+7n$ となることである。

(1) これらの式から $n=y-2x$，$m=(7x-3y)/2$ を得る。$P_1=(1,1)$ では $(m,n)=(2,-1)$ なので属する。$P_2=(2,1)$ では $m=11/2$ となり整数でないので属さない。$P_3=(3,1)$ では $(m,n)=(9,-5)$ なので属する。

(2) $y=0$ とすると $n=-2x$，$m=7x/2$ となる。$m$ が整数であるためには $x$ は偶数であり，逆に $x=2t$（$t$ は整数）とすれば $m=7t,n=-4t$ で条件を満たす。したがって $x$ 軸上の点は $(2t,0)$ である。

(3) 整数座標の点については $m=(7x-3y)/2$，$n=y-2x$ であるから，$L$ は $x,y$ が同じ偶奇である整数座標の点全体である。したがって，$L$ の非零ベクトルの長さは $\sqrt2$ 以上である。生成対の各ベクトルは非零なので，長さの和は $2\sqrt2$ 以上である。 ここで $A'=(1,1),B'=(1,-1)$ はともに $L$ に属する。また，$L$ の点は $x,y$ が同じ偶奇である整数座標の点全体だから，$m'=(x+y)/2,n'=(x-y)/2$ は整数となり，$(x,y)=m'(1,1)+n'(1,-1)$ と表せる。この対は $L$ を生成し，長さの和は $2\sqrt2$ である。よって最小値は $2\sqrt2$。

(4) $A,B$ が $L$ を生成するので，$Q=(x,y)$ が条件を満たすことは $$2x+4y\text{ と }3x+7y\text{ がともに整数である}$$ と同値である。これらの整数をそれぞれ $r,s$ と置いて連立すると $$\displaystyle x=\frac{7r-4s}{2},\qquad y=\frac{-3r+2s}{2}.$$ $r$ が偶数なら $x,y$ は整数であり，範囲内では各々 $-1,0,1$ の9点が得られる。$r$ が奇数なら両座標は半整数であり，範囲内では $(x,y)=(\varepsilon/2,\delta/2)$（$\varepsilon,\delta\text{ はそれぞれ }-1\text{ または }1$）の4点となる。これらはいずれも元の2つの内積が整数である。したがって求める点はこの13点である。