1大阪大学 2025年 数学 第1問解答・解説

直線 $OB$ を $x$ 軸、$O$ を原点とし、$\overrightarrow{OB}$ の向きを正にとる。$\angle AOB$ は鋭角で、$C$ は $A$ から直線 $OB$ への垂線の足であり、$OC=1$ だから、$A$ の $x$ 座標は1である。$OA=3$ より、反射で上下を選べば $$O=(0,0),\qquad B=(t,0),\qquad A=(1,2\sqrt2),\qquad t>0.$$

(1) 成分で内積を計算すると $$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=(1,2\sqrt2)\cdot(t,0)=t.$$

(2) $AP:PB=2:1$ なので $$\displaystyle P=\frac{A+2B}{3}=\left(\frac{1+2t}{3},\frac{2\sqrt2}{3}\right).$$ $R=(r,0)$ とおく。$AR\perp OP$ より $$\displaystyle (1-r,2\sqrt2)\cdot\left(\frac{1+2t}{3},\frac{2\sqrt2}{3}\right)=0,$$ すなわち $$\displaystyle (1-r)(1+2t)+8=0,\qquad r=\frac{2t+9}{2t+1}.$$ $t>0$ だから $r>0$。したがって $$\displaystyle OR=r=\frac{2t+9}{2t+1}.$$

(3) $M=(t/2,0)$ であり、$R$ が線分 $MB$ 上にある条件は $t/2\le r\le t$。$2t+1>0$ を用いてそれぞれ解くと $$\displaystyle \begin{aligned} r\le t&\quad\text{すなわち}\quad 2t^2-t-9\ge0 \quad\text{すなわち}\quad t\ge\frac{1+\sqrt{73}}4,\\ r\ge\frac t2&\quad\text{すなわち}\quad 2t^2-3t-18\le0 \quad\text{すなわち}\quad 0<t\le\frac{3+3\sqrt{17}}4. \end{aligned}$$ よって $$\displaystyle \frac{1+\sqrt{73}}4\le t\le\frac{3+3\sqrt{17}}4.$$