4大阪大学 2025年 数学 第4問解答・解説

・ $t>0$ なので、積分区間では $x>0$ であり、$|\sin x|\leq 1$ を用いると $$\displaystyle \left|\int_t^{2t}\frac{\sin x}{x^2}\,dx\right| \leq \int_t^{2t}\frac{1}{x^2}\,dx =\left[-\frac1x\right]_t^{2t} =\frac{1}{2t}<\frac1t.$$ したがって、求める両側の不等式が成り立つ。

・ 部分積分により $$\displaystyle \int_t^{2t}\frac{\cos x}{x}\,dx =\left[\frac{\sin x}{x}\right]_t^{2t} +\int_t^{2t}\frac{\sin x}{x^2}\,dx.$$ よって（1）で用いた評価から $$\displaystyle \left|\int_t^{2t}\frac{\cos x}{x}\,dx\right| \leq \frac{1}{2t}+\frac1t+\frac{1}{2t} =\frac2t\longrightarrow 0\qquad(t\to\infty).$$ ゆえに極限は $0$ である。

・ 加法定理から $2\sin A\sin B=\cos(A-B)-\cos(A+B)$ であるから、 $$\displaystyle f(x)=\frac12(\cos x-\cos 2x).$$ また、置換 $u=2x$ により $$\displaystyle \int_1^t\frac{\cos 2x}{x}\,dx=\int_2^{2t}\frac{\cos u}{u}\,du.$$ したがって $t\geq2$ のとき、積分区間の加法性を用いて $$\displaystyle \begin{aligned} \int_1^t\frac{f(x)}{x}\,dx &=\frac12\left(\int_1^t\frac{\cos x}{x}\,dx-\int_2^{2t}\frac{\cos x}{x}\,dx\right)\\ &=\frac12\int_1^2\frac{\cos x}{x}\,dx-\frac12\int_t^{2t}\frac{\cos x}{x}\,dx. \end{aligned}$$ 最後の積分は（2）より $t\to\infty$ で $0$ に収束する。よって $$\displaystyle \lim\limits _{t\to\infty}\int_1^t\frac{f(x)}{x}\,dx =\frac12\int_1^2\frac{\cos x}{x}\,dx.$$