4鹿児島大学 2026年 数学 第4問解答・解説

部分分数を $$\displaystyle \frac{3x+1}{(x+2)(x^2+1)} =\frac{a}{x+2}+\frac{bx+c}{x^2+1}$$ とおく。係数を比較すると $a=-1,\ b=1,\ c=1$ である。したがって $$\displaystyle \frac{3x+1}{(x+2)(x^2+1)} =-\frac1{x+2}+\frac{x+1}{x^2+1}.$$ 自然数 $n>0$ に対し、直角三角形の辺の比 $1:n$ から $0<\theta_n<\pi/2,\ \tan\theta_n=n$ となる角 $\theta_n$ が存在する。

積分すると $$\displaystyle \begin{aligned} I_n &=\int_0^n\left(-\frac1{x+2}+\frac{x}{x^2+1}+\frac1{x^2+1}\right)\,dx\\ &=-\log(n+2)+\frac12\log(n^2+1)+\arctan n+\log2\\ &=\log\frac{2\sqrt{n^2+1}}{n+2}+\theta_n. \end{aligned}$$ ここで $\arctan n=\theta_n$ である。さらに $$\displaystyle \frac{2\sqrt{n^2+1}}{n+2} =2\frac{\sqrt{1+1/n^2}}{1+2/n}\longrightarrow2, \qquad \theta_n\longrightarrow\frac{\pi}{2}.$$ ゆえに $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}I_n=\log2+\frac{\pi}{2}.$$