鹿児島大学 2026年数学第1問解答・解説

数と式二次関数場合の数と確率数学と人間の活動（整数）数列ベクトル

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1問題

鹿児島大学2026年度第1問

次の各問いに答えよ。

(1) 点 $O$ を中心とする円の円周上に異なる2点 $A,B$ がある。線分 $AB$ の長さが8であるとき、内積 $\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AB}$ を求めよ。

(2) 関数 $y=x|x-1|$ のグラフをかけ。

(3) 自然数 $n$ に対し、 $|x|+|y|\leq n$ を満たす整数 $x,y$ の組 $(x,y)$ の個数を、 $n$ を用いて表せ。ただし、例えば $(0,1)$ と $(1,0)$ は異なる組として数えるとする。

(4) 文字 $A$ が2個、文字 $B$ が2個、文字 $C$ が1個ある。この5文字を一列に並べるとき、2つの $A$ が隣り合わず、かつ2つの $B$ も隣り合わないような並べ方は何通りあるか。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

1(1)
32
1(2)
$y=\begin{cases}x-x^2&(x\le1),\\x^2-x&(x\ge1),\end{cases}\quad (0,0),(1,0),\space{}(1/2,1/4)$ を通る
1(3)
$2n^2+2n+1$
1(4)
12通り

3解答

解答を見る途中式つきの解答

大問1 (1) $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}$ 、また円の半径より $|AO|=|OB|$ 。したがって $AB^2=(AO+OB)\cdot(AO+OB) =2\bigl(|AO|^2+AO\cdot OB\bigr) =2\,AO\cdot AB.$ $AB=8$ なので $\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AB}=64/2=32$ 。

(2) 絶対値を場合分けすると $y=x|x-1|= \begin{cases}x-x^2&(x\le1),\\x^2-x&(x\ge1).\end{cases}$ 左側は下に開く放物線で頂点は $(1/2,1/4)$ 、右側は上に開く放物線の $x\ge1$ 部分。両者は $(1,0)$ でつながり、左側は $(0,0)$ も通る。

(3) $|x|+|y|=j$ の整数格子点数は、 $j=0$ で1個、 $j\ge1$ で4j個（ひし形の各辺にj−1点、頂点4点）。従って $\displaystyle 1+\sum\limits _{j=1}^n4j=1+2n(n+1)=2n^2+2n+1.$

(4) 全順列は $5!/(2!2!)=30$ 。Aが隣り合うものはAAを一塊として $4!/2!=12$ 、Bが隣り合うものも12。両方隣り合うものはAA,BB,Cの並べ方で $3!=6$ 。包除原理から $30-12-12+6=12.$

この問題で使う考え方

ベクトルの内積
絶対値の符号による場合分け
整数格子点の層別計数
包除原理

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