本文へ進む
検索
メニュー
医学部数学 過去問DB問題を探す

順天堂大学／2025年度／一般選抜A方式

順天堂大学 2025年 数学 第I問解答・解説

指数関数・対数関数極限ベクトルいろいろな式数と式数列二次関数数学と人間の活動（整数）

このページには広告が含まれます。

1問題

順天堂大学2025年度第I問

適する解答をマークせよ。

(1) 一般項が an=2n+33−na_n=2^{n+3}3^{-n} で与えられる数列 {an}\{a_n\} について、an<1a_n<1 を満たす最小の nn の値は ア\boxed{\text{ア}} である。また、 ∑n=1∞an=イウ\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty}a_n=\boxed{\text{イウ}} である。一般項が bn=a1×a2×⋯×anb_n=a_1\times a_2\times\cdots\times a_n で与えられる数列 {bn}\{b_n\} について、bn<1b_n<1 を満たす最小の nn の値は エオ\boxed{\text{エオ}} である。ただし、log⁡102=0.3010\log_{10}2=0.3010、log⁡103=0.4771\log_{10}3=0.4771 とする。

(2) 四面体 OABCOABC において、∠AOB=∠BOC=∠AOC=60∘\angle AOB=\angle BOC=\angle AOC=60^{\circ}、OA=9OA=9、OB=3OB=3、OC=6OC=6 である。点 PP は辺 OAOA 上を、点 QQ は辺 BCBC 上をそれぞれ独立に動く。このとき、線分 PQPQ を 2:12:1 に内分する点を RR とする。

OP→=sOA→ (0≦s≦1)\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}\ (0\leq s\leq1)、OQ→=(1−t)OB→+tOC→ (0≦t≦1)\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=(1-t)\overrightarrow{\mathrm{OB}}+t\overrightarrow{\mathrm{OC}}\ (0\leq t\leq1) とし、辺 OBOB を 2:12:1 に内分する点を DD とすると、 DR→=sk⃗+tl⃗,k⃗=アイOA→,l⃗=ウエOC→−オカOB→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{DR}}=s\vec{k}+t\vec{l},\qquad \vec{k}=\frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}},\qquad \vec{l}=\frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}\overrightarrow{\mathrm{OB}} と表され、点 RR はある平面上を動くことがわかる。この平面を HH とすると、 ∣k⃗∣2=キ,∣l⃗∣2=クケ,k⃗⋅l⃗=コ|\vec{k}|^{2}=\boxed{\text{キ}},\qquad |\vec{l}|^{2}=\boxed{\text{クケ}},\qquad \vec{k}\cdot\vec{l}=\boxed{\text{コ}} より、平面 HH 上で点 RR が描く図形の面積は サシス\boxed{\text{サ}}\sqrt{\boxed{\text{シス}}} である。

(3) 4次方程式 P(x)=x4−54x2−40x+269=0P(x)=x^{4}-54x^{2}-40x+269=0 を考える。

x=y+bx=y+b とおいたとき、P(y+b)=y4−4y3−48y2+64y+256P(y+b)=y^{4}-4y^{3}-48y^{2}+64y+256 となる定数 bb の値は b=アイb=\boxed{\text{アイ}} である。さらに y=azy=az とおいて、P(az+b)=cz4−cz3+dz2+cz+cP(az+b)=cz^{4}-cz^{3}+dz^{2}+cz+c となるように定数 aa を選ぶと a=ウa=\boxed{\text{ウ}} であり、このときの定数 cc と dd の値は c=エオカc=\boxed{\text{エオカ}}、d=キクケコd=\boxed{\text{キクケコ}} である。

方程式 P(az+b)=0P(az+b)=0 において、t=z−1z\displaystyle t=z-\frac{1}{z} とおくと t=サ±シス\displaystyle t=\frac{\boxed{\text{サ}}\pm\sqrt{\boxed{\text{シ}}}}{\boxed{\text{ス}}} である。方程式 P(x)=0P(x)=0 の実数解のうちで最大のものは x=セ+ソタ+チツx=\sqrt{\boxed{\text{セ}}}+\sqrt{\boxed{\text{ソタ}}+\boxed{\text{チ}}\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}} である。

(4) 次のア～エに当てはまるものを、下の(A)～(D)から選べ。

(a) 実数 xx について、0<∣x+2∣−∣x−1∣<30<|x+2|-|x-1|<3 は −1<x<1-1<x<1 であるための ア\boxed{\text{ア}}。

(b) 実数 xx が有理数 a,ba,b を用いて aba^{b} と表せることは、xx が有理数であるための イ\boxed{\text{イ}}。

(c) 無限級数 ∑n=1∞an\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty}a_n が収束することは、数列 {an}\{a_n\} が lim⁡n→∞an=0\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}a_n=0 を満たすための ウ\boxed{\text{ウ}}。

(d) m,n,lm,n,l を整数とする。m2+n2+l2{m^{2}+n^{2}+l^{2}} が奇数であることは、m+n+lm+n+l が奇数であるための エ\boxed{\text{エ}}。

(A) 必要十分条件である。

(B) 必要条件であるが、十分条件ではない。

(C) 十分条件であるが、必要条件ではない。

(D) 必要条件でも十分条件でもない。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)(1)\quad ア=6,=6,\quad イウ=16,=16,\quad エオ=10;=10;
    (2)k⃗=13OA→,l⃗=23OC→−23OB→,∣k⃗∣2=9,∣l⃗∣2=12,k⃗⋅l⃗=3,\displaystyle (2)\quad \vec{k}=\frac13\overrightarrow{OA},\quad \vec{l}=\frac23\overrightarrow{OC}-\frac23\overrightarrow{OB},\quad |\vec{k}|^2=9,\quad |\vec{l}|^2=12,\quad \vec{k}\cdot\vec{l}=3,\quad 面積=311;=3\sqrt{11};
    (3)b=−1,a=4,c=256,d=−768,t=1±52,xmax⁡=5+22+25;\displaystyle (3)\quad b=-1,\quad a=4,\quad c=256,\quad d=-768,\quad t=\frac{1\pm\sqrt5}{2},\quad x_{\max}=\sqrt5+\sqrt{22+2\sqrt5};
    (4)(4)\quad ア=(C),=(C),\quad イ=(B),=(B),\quad ウ=(C),=(C),\quad エ=(A).=(A).

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) an=2n+33−n=8(2/3)na_n=2^{n+3}3^{-n}=8(2/3)^n であるから、an<1a_n<1 は log⁡10an=3log⁡102+n(log⁡102−log⁡103)=0.9030−0.1761n<0\log_{10}a_n=3\log_{10}2+n(\log_{10}2-\log_{10}3)=0.9030-0.1761n<0 と同値である。したがって n>0.9030/0.1761n>0.9030/0.1761、すなわち n>5.12…n>5.12\ldots であり、最小の整数は n=6n=6 である。実際、a5=256/243>1a_5=256/243>1、a6=512/729<1a_6=512/729<1 である。また、等比級数の和より ∑n=1∞an=82/31−2/3=16.\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty}a_n=8\frac{2/3}{1-2/3}=16. さらに bn=∏k=1n8(2/3)k=8n(2/3)n(n+1)/2\displaystyle b_n=\prod\limits _{k=1}^{n}8(2/3)^k=8^n(2/3)^{n(n+1)/2} なので log⁡10bn=0.9030n−0.08805n(n+1)=n{0.9030−0.08805(n+1)}.\log_{10}b_n=0.9030n-0.08805n(n+1)=n\{0.9030-0.08805(n+1)\}. n≧1n\geq1 より、bn<1b_n<1 は n+1>0.9030/0.08805=10.25…n+1>0.9030/0.08805=10.25\ldots と同値である。よって最小の整数は n=10n=10 である。境界を確かめると、log⁡10b9=0.2025>0\log_{10}b_9=0.2025>0、log⁡10b10=−0.6555<0\log_{10}b_{10}=-0.6555<0 である。

(2) PR:RQ=2:1PR:RQ=2:1 だから、点 RR の位置ベクトルは OR→=13OP→+23OQ→=s3OA→+23(1−t)OB→+2t3OC→.\displaystyle \overrightarrow{OR}=\frac13\overrightarrow{OP}+\frac23\overrightarrow{OQ} =\frac{s}{3}\overrightarrow{OA}+\frac23(1-t)\overrightarrow{OB}+\frac{2t}{3}\overrightarrow{OC}. また、OD:DB=2:1OD:DB=2:1 より OD→=23OB→\displaystyle \overrightarrow{OD}=\frac23\overrightarrow{OB} である。したがって DR→=OR→−OD→=s(13OA→)+t(23OC→−23OB→).\displaystyle \overrightarrow{DR}=\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OD} =s\left(\frac13\overrightarrow{OA}\right)+t\left(\frac23\overrightarrow{OC}-\frac23\overrightarrow{OB}\right). よって k⃗=13OA→\displaystyle \vec{k}=\frac13\overrightarrow{OA}、l⃗=23OC→−23OB→\displaystyle \vec{l}=\frac23\overrightarrow{OC}-\frac23\overrightarrow{OB} である。各角が 60∘60^\circ であることから OA→⋅OB→=272,OA→⋅OC→=27,OB→⋅OC→=9.\displaystyle \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\frac{27}{2},\qquad \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}=27,\qquad \overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}=9. ゆえに ∣k⃗∣2=19∣OA→∣2=9,\displaystyle |\vec{k}|^2=\frac19|\overrightarrow{OA}|^2=9, ∣l⃗∣2=49∣OC→−OB→∣2=49(36+9−2⋅9)=12,\displaystyle |\vec{l}|^2=\frac49|\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}|^2 =\frac49(36+9-2\cdot9)=12, k⃗⋅l⃗=29OA→⋅(OC→−OB→)=29(27−272)=3.\displaystyle \vec{k}\cdot\vec{l}=\frac29\overrightarrow{OA}\cdot(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}) =\frac29\left(27-\frac{27}{2}\right)=3. s,ts,t はそれぞれ独立に 0≦s≦10\le s\le1、0≦t≦10\le t\le1 の範囲を動くので、RR は辺ベクトル k⃗,l⃗\vec{k},\vec{l} をもつ平行四辺形を描く。両ベクトルのなす角を θ\theta とすれば、その面積の二乗は (∣k⃗∣∣l⃗∣sin⁡θ)2=∣k⃗∣2∣l⃗∣2−(k⃗⋅l⃗)2=9⋅12−32=99.(|\vec{k}||\vec{l}|\sin\theta)^2=|\vec{k}|^2|\vec{l}|^2-(\vec{k}\cdot\vec{l})^2=9\cdot12-3^2=99. したがって面積は 3113\sqrt{11} である。

(3) x=y+bx=y+b として展開すると、y3y^3 の係数は 4b4b である。これが −4-4 なので b=−1b=-1 となり、実際に P(y−1)=y4−4y3−48y2+64y+256.P(y-1)=y^4-4y^3-48y^2+64y+256. 続いて y=azy=az とおくと P(az−1)=a4z4−4a3z3−48a2z2+64az+256.P(az-1)=a^4z^4-4a^3z^3-48a^2z^2+64az+256. 定数項と zz の係数から c=256=64ac=256=64a となるため a=4a=4。このとき最高次項と z3z^3 の係数もそれぞれ 256256、−256-256 となり、d=−48⋅42=−768d=-48\cdot4^2=-768 である。したがって P(4z−1)=256(z4−z3−3z2+z+1).P(4z-1)=256(z^4-z^3-3z^2+z+1). この方程式の解では z≠0z\neq0 だから、z2z^2 で割れる。t=z−1/zt=z-1/z とおき、z2+1/z2=t2+2z^2+1/z^2=t^2+2 を用いると z2+1z2−(z−1z)−3=0すなわちt2−t−1=0.\displaystyle z^2+\frac1{z^2}-\left(z-\frac1z\right)-3=0 \quad\text{すなわち}\quad t^2-t-1=0. よって t=(1±5)/2t=(1\pm\sqrt5)/2 である。

実数 zz は z2−tz−1=0z^2-tz-1=0 より z=(t±t2+4)/2z=(t\pm\sqrt{t^2+4})/2 となる。正の方の値は tt が大きいほど大きく、負の方は正の方より小さい。したがって最大の zz は t=(1+5)/2t=(1+\sqrt5)/2 に対する正の根である。x=4z−1x=4z-1 より x=2t+2t2+4−1=5+22+25.x=2t+2\sqrt{t^2+4}-1 =\sqrt5+\sqrt{22+2\sqrt5}.

(4) (a) x<−2x<-2 または x≧1x\geq1 では ∣x+2∣−∣x−1∣=−3|x+2|-|x-1|=-3 または 33 であり、不等式を満たさない。−2≦x<1-2\leq x<1 では差は 2x+12x+1 だから、条件は −1/2<x<1-1/2<x<1 となる。これは −1<x<1-1<x<1 の十分条件だが必要条件ではないので、(C)である。

(b) xx が有理数なら x=x1x=x^1 と表せるので、前者は後者の必要条件である。一方、2=21/2\sqrt2=2^{1/2} は前者を満たすが有理数ではない。実際、2=p/q\sqrt2=p/q を既約分数とすると p2=2q2p^2=2q^2 より pp は偶数となり、さらに qq も偶数となって矛盾する。したがって前者は後者の十分条件ではなく、(B)である。

(c) 級数が収束し、その和を SS とすると、部分和 SnS_n に対して an=Sn−Sn−1→S−S=0a_n=S_n-S_{n-1}\to S-S=0 である。したがって級数の収束は an→0a_n\to0 の十分条件である。しかし逆は成り立たず、an=1/na_n=1/n では an→0a_n\to0 だが級数は発散する。実際、各 k≧1k\geq1 について ∑n=2k−1+12k1n≧2k−112k=12\displaystyle \sum\limits _{n=2^{k-1}+1}^{2^k}\frac1n\geq 2^{k-1}\frac1{2^k}=\frac12 なので部分和は上に限りなく大きくなる。よって(C)である。

(d) 整数 rr について r2r^2 と rr の偶奇は一致する。よって m2+n2+l2m^2+n^2+l^2 と m+n+lm+n+l の偶奇も一致し、二つの条件は同値である。したがって(A)である。

この問題で使う考え方

  • 有理数指数と指数法則
  • 対数とその性質
  • 常用対数
  • 等比数列の一般項と和
  • 無限等比級数
  • 位置ベクトル
  • ベクトルの内積
  • ベクトルによる図形の考察

PR

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。