II順天堂大学 2025年 数学 第II問解答・解説

(a) 条件(i)より、$f(x)-6x$ は $-2,1,4$ を根にもつ三次式で、最高次の係数は $a$ だから $$f(x)-6x=a(x+2)(x-1)(x-4).$$ したがって $\text{ア}=2$、$\text{イ}=1$、$\text{ウ}=4$ である。$(x+2)(x-1)(x-4)=x^3-3x^2-6x+8$ より、条件(ii)は $$-3=f'(-2)=6+a(3(-2)^2-6(-2)-6)=6+18a$$ となるので、$a=-1/2$。展開して $$\displaystyle f(x)=6x-\frac12(x^3-3x^2-6x+8) =-\frac12x^3+\frac32x^2+9x-4.$$ よって $b=3/2$、$c=9$、$d=-4$ である。

(b) 点 $(1,6)$ で直線 $y=6x$ と接するので、$f(x)-6x$ は $x=1$ を重根にもつ。また $(4,24)$ も共有点だから $$f(x)=6x+a(x-1)^2(x-4).$$ 直線 $y=6x-12$ との接点の $x$ 座標を $r$ とすると、 $$h(x)=f(x)-(6x-12)=a(x-1)^2(x-4)+12$$ は $x=r$ を重根にもつ。従って $h(r)=h'(r)=0$ である。微分すると $$h'(x)=3a(x-1)(x-3).$$ $a\neq0$ より $r=1$ または $r=3$ だが、$h(1)=12\neq0$ なので $r=3$。$h(3)=-4a+12=0$ から $a=3$ を得る。したがって $$f(x)=6x+3(x^3-6x^2+9x-4)=3x^3-18x^2+33x-12.$$ ゆえに $a=3$、$b=-18$、$c=33$、$d=-12$ である。実際、$f(x)-(6x-12)=3x(x-3)^2$ となり、$x=3$ で接する。

(c) $x=1$ で $y=6x$ と接するため、$f(x)-6x$ は $x=1$ を少なくとも二重根にもつ。三次式であり、ほかに共有点がないので、残る根も $1$ でなければならない。従って $$f(x)=6x+a(x-1)^3.$$ $f$ が $x=-3$ で極値をとる条件は $f'(-3)=0$ である。$f'(x)=6+3a(x-1)^2$ より $$\displaystyle 0=6+48a,\qquad a=-\frac18.$$ このとき $\displaystyle f'(x)=6-\frac38(x-1)^2$ は $x=-3$ の左側で負、右側で正となるので、実際に極小値をとる。展開して $$\displaystyle f(x)=6x-\frac18(x^3-3x^2+3x-1) =-\frac18x^3+\frac38x^2+\frac{45}{8}x+\frac18.$$ よって $a=-1/8$、$b=3/8$、$c=45/8$、$d=1/8$ である。