III慶應義塾大学 2025年 数学 第III問解答・解説

(1)(i)　 $Q(x)=2x^2+1$ とおくと， $$\begin{aligned} P(Q(x))&=3(2x^2+1)^3-9(2x^2+1)^2+7(2x^2+1)\\ &=3(8x^6+12x^4+6x^2+1)-9(4x^4+4x^2+1)+14x^2+7\\ &=24x^6-4x^2+1. \end{aligned}$$ したがって，$\boxed{\text{あ}}=24x^6-4x^2+1$ である。

(1)(ii)　 係数がすべて0ではないと仮定し，$a_k\ne0$ となる最大の添字$k$をとる。$k=0$ならば$G(H(x))=a_0\ne0$であり，恒等的に0という仮定に反する。$k\ge1$ならば，$H(x)^k$の最高次の項は$b_n^k x^{nk}$であり，$a_kH(x)^k$の次数は$nk$である。一方，$j<k$の各項$a_jH(x)^j$の次数は高くても$nj<nk$である。したがって$G(H(x))$の$x^{nk}$の係数は$a_kb_n^k\ne0$となり，これも恒等的に0であることに反する。ゆえに係数はすべて0である。

(2)(i)　 定積分の加法性から $$\displaystyle g(x)+h(x)=\int_0^x f(t)\,dt+\int_x^1 f(t)\,dt=\int_0^1 f(t)\,dt=g(1)=a,$$ よって$h(x)=a-g(x)$である。与えられた恒等式をこの関係で書き直し， $$\Phi(g(x))=0,\qquad \Phi(y)=g(a-y)-(a-y)^3-by^2-c(a-y)-d$$ とおく。$f$は0でない多項式であり$g'=f$だから，$g$は定数でない多項式である。(1)(ii)より$\Phi(y)$は恒等的に0である。ここで$z=a-y$と置くと $$g(z)=z^3+b(a-z)^2+cz+d =z^3+bz^2+(c-2ab)z+(a^2b+d).$$ したがって$g$は3次式であり，$g(0)=0,\ g(1)=a$より $$a^2b+d=0,\qquad 1+b+c-2ab=a. \tag{1}$$ さらに$g'=f$と$f(1)=2(1-a)$より $$3+2b+c-2ab=2(1-a). \tag{2}$$ (1)から$c=a-1-b+2ab$であり，これを(2)に代入すると$b=-3a$を得る。続いて $$c=-6a^2+4a-1,\qquad d=3a^3,$$ したがって $$g(x)=x^3-3ax^2+(4a-1)x.$$ よって$\boxed{\text{い}}=a,\ \boxed{\text{う}}=3,\ \boxed{\text{え}}=-3a,\ \boxed{\text{お}}=-6a^2+4a-1,\ \boxed{\text{か}}=3a^3$である。

(2)(ii)　 $$g'(x)=3x^2-6ax+4a-1$$ の判別式は $$D=36a^2-12(4a-1)=12(3a-1)(a-1).$$ 三次関数$g$が極値をもつのは$D>0$のとき，すなわち$\displaystyle a<\frac13$または$a>1$のときである。二つの停留点は $$\displaystyle r=a-\sqrt{\frac{(3a-1)(a-1)}3},\qquad s=a+\sqrt{\frac{(3a-1)(a-1)}3}$$ であり，$r<s$である。導関数の最高次係数は正なので，$g$は$r$で極大となる。よって$\boxed{\text{け}}=r$である。方程式$g(x)=g(r)$は$x=r$を重解にもつ三次方程式である。三解の和は$3a$だから，もう一つの解は$\displaystyle 3a-2r=a+2\sqrt{\frac{(3a-1)(a-1)}3}$である。これが$\boxed{\text{こ}}$である。

(2)(iii)　 点$(a,g(a))$における傾きは $$g'(a)=3a^2-6a^2+4a-1=-3a^2+4a-1,$$ また$g(a)=-2a^3+4a^2-a$である。よって接線の切片は $$g(a)-ag'(a)=a^3,$$ したがって接線は$y=(-3a^2+4a-1)x+a^3$である。これを積分の被積分関数に代入すると $$\begin{aligned} g(x)-(-3a^2+4a-1)x-a^3-2(x-a) &=(x-a)^3-2(x-a). \end{aligned}$$ $u=x-a$と置けば $$\displaystyle F(a)=\int_{-a}^0(u^3-2u)e^{-u^2/2}\,du =-\left[u^2e^{-u^2/2}\right]_{-a}^{0} =a^2e^{-a^2/2},$$ ここでは$\displaystyle \frac{d}{du}(u^2e^{-u^2/2})=(2u-u^3)e^{-u^2/2}$を用いた。最後に$t=a^2\ (t\ge0)$とすると，$F=t e^{-t/2}$であり，その導関数は$e^{-t/2}(1-t/2)$である。したがって最大値は$t=2$のときの$2/e$である。ゆえに$\boxed{\text{さ}}=-3a^2+4a-1,\ \boxed{\text{し}}=a^3,\ \boxed{\text{す}}=a^2e^{-a^2/2},\ \boxed{\text{せ}}=2/e$である。