I横浜市立大学 2011年 数学 第I問解答・解説

（1）関数 $f(x)=x\sin^2x\; (0\leq x\leq\pi)$ は連続であり、$f(0)=f(\pi)=0$、$f(\pi/2)=\pi/2>0$ であるから、最大値を与える $\alpha$ は $0<\alpha<\pi$ を満たす。したがって $f'(\alpha)=0$ であり、 $$f'(x)=\sin^2x+2x\sin x\cos x=\sin x(\sin x+2x\cos x)$$ より、$\sin\alpha+2\alpha\cos\alpha=0$。よって $\sin^2\alpha=4\alpha^2\cos^2\alpha=4\alpha^2(1-\sin^2\alpha)$ なので、 $$\displaystyle f(\alpha)=\alpha\sin^2\alpha=\frac{4\alpha^3}{4\alpha^2+1}.$$

（2） $$\begin{aligned} a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2a^2c^2-2b^2c^2 &=(a^2-b^2-c^2)^2-(2bc)^2\\ &=\{a^2-(b+c)^2\}\{a^2-(b-c)^2\}\\ &=(a-b-c)(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c). \end{aligned}$$

（3）$0\leq k\leq n$ では $$\displaystyle f^{(k)}(x)=(2a)^k e^{2ax},\qquad g^{(k)}(x)=\frac{n!}{(n-k)!}x^{n-k},$$ また $k>n$ では $g^{(k)}(x)=0$ である。$n\leq N$ より、 $$\displaystyle \begin{aligned} (f*_tg)(x)&=e^{2ax}\sum\limits _{k=0}^{n}\frac{n!}{k!(n-k)!}(at)^k x^{n-k}\\ &=e^{2ax}(x+at)^n \end{aligned}$$ となる（二項定理）。

（4） $$\displaystyle I(x)=\int_0^x f(t)e^{x-t}\,dt=e^x\int_0^x f(t)e^{-t}\,dt$$ とおくと、積の微分と積分の上端に関する微分公式から $I'(x)=I(x)+f(x)$ である。与式を微分し、再び $f(x)+I(x)=\sin x$ を用いると $$f'(x)+I'(x)=\cos x,\qquad f'(x)+f(x)+I(x)=\cos x,\qquad f'(x)=\cos x-\sin x.$$ また、元の関係式に $x=0$ を代入すると $f(0)=0$。したがって $$f(x)=\sin x+\cos x+C,\qquad f(0)=0\ \text{したがって}\ C=-1,$$ ゆえに $f(x)=\sin x+\cos x-1$。確認として $$\displaystyle \int_0^x(\sin t+\cos t-1)e^{x-t}\,dt=e^x\left[e^{-t}(1-\cos t)\right]_0^x=1-\cos x,$$ したがって $\displaystyle f(x)+\int_0^x f(t)e^{x-t}\,dt=\sin x$ となり、元の関係式を満たす。