3岡山大学 2019年 数学 第3問解答・解説

(1) $z\ne0$ より $z\overline z\ne0$ である。条件 $z\overline w=\overline z w$ を $z\overline z$ で割ると $$\displaystyle \frac{\overline w}{\overline z}=\frac{w}{z}=\overline{\left(\frac{w}{z}\right)}$$ となる。したがって $w/z$ は実数である。よって $w=tz\;(t\text{ は実数})$ と書けるので、複素数平面上の $0,z,w$ は一直線上にある。

(2) $z=|z|e^{i\theta}$ とおく。 $$|z-1|^2=1\quad\text{より}\quad |z|^2-2\operatorname{Re}z=0.$$ ここで $z\ne0$ より $|z|^2=2\operatorname{Re}z>0$ だから $\operatorname{Re}z>0$ であり、偏角は $\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$ を満たす。 $$|z|^2=2|z|\cos\theta\quad\text{より}\quad |z|=2\cos\theta,\qquad z=2\cos\theta e^{i\theta}.$$ (1) より $w=tz\;(t\text{ は実数})$ とおくと、 $$2=|z-w|=|1-t||z|=2\cos\theta|1-t|.$$ よって $|1-t|=1/\cos\theta$ であるから $t=1\pm1/\cos\theta$ となる。したがって $$w=(1\pm1/\cos\theta)2\cos\theta e^{i\theta}=2(\cos\theta\pm1)e^{i\theta}.$$

(3) $\displaystyle 0\le\theta<\frac{\pi}{2}$ のとき、二つの値に対応する虚部は $$\operatorname{Im}w_{\pm}=2(\cos\theta\pm1)\sin\theta.$$ この範囲で $\operatorname{Im}w_{-}\le0$ であり、$\operatorname{Im}w_{+}=f(\theta)=2\sin\theta(1+\cos\theta)\ge0$ だから、最大値は $f$ の最大値である。 $$f'(\theta)=2\{\cos\theta(1+\cos\theta)-\sin^2\theta\}=2(\cos\theta+\cos2\theta)=2(2\cos\theta-1)(\cos\theta+1).$$ $0\le\theta<\pi/2$ では $\cos\theta+1>0$ であり、$\cos\theta$ は減少する。したがって $f'(\theta)>0$ は $0\le\theta<\pi/3$ で成り立ち、$\theta=\pi/3$ で $f'=0$、$\pi/3<\theta<\pi/2$ で $f'<0$ となる。ゆえに最大値は $\theta=\pi/3$ で得られ、 $$\displaystyle f\left(\frac{\pi}{3}\right)=2\cdot\frac{\sqrt3}{2}\left(1+\frac12\right)=\frac{3\sqrt3}{2}.$$