4岡山大学 2019年 数学 第4問解答・解説

垂線の傾きは $-1$。直線 $y=x$ との交点は $Q=((t^2+1)/2,(t^2+1)/2)$ なので $OQ=(t^2+1)/\sqrt2$。座標差から $PQ=(1-t)^2/\sqrt2$（$0\le t\le1$）。

回転軸に沿う座標を $s=(x+y)/\sqrt2$、軸からの距離を $v=(y-x)/\sqrt2$ とする。図形は軸の片側にあり、断面は円盤となる。$s\le1/\sqrt2$ では半径 $s$、その先では $t$ を用いて半径 $(1-t)^2/\sqrt2$、$ds=\sqrt2t\,dt$。よって $$\displaystyle V=\pi\int_0^{1/\sqrt2}s^2\,ds+\pi\int_0^1\frac{(1-t)^4}{2}\,\sqrt2t\,dt=\frac{\pi}{5\sqrt2}.$$

**答え**：(1) $u=(t^2+1)/\sqrt2$。(2) $PQ=(1-t)^2/\sqrt2$。(3) $V=\pi/(5\sqrt2)$。