6東北大学 2018年 数学 第6問解答・解説

(1) 条件を $x$ の範囲に直すと $$x\ge-y,\qquad x\le y+2,\qquad x\le2-y^2.$$ 下端 $-y$ が二つの上端以下となる条件は $-1\le y\le2$ である。また $y+2\le2-y^2$ は $-1\le y\le0$ で成り立つ。よって $$\begin{cases}-y\le x\le y+2&(-1\le y\le0),\\-y\le x\le2-y^2&(0\le y\le2).\end{cases}$$ 境界は $(1,-1),(2,0),(-2,2)$ を結ぶ直線 $x=-y,\ x=y+2$ と放物線 $x=2-y^2$ である。

(2) 回転軸 $y=-x$ に沿う座標と垂直な座標を $$z=x-y,\qquad t=x+y$$ とする。このとき $t\ge0$、軸方向の長さ要素は $dz/\sqrt2$、軸からの距離は $t/\sqrt2$ である。不等式を $z,t$ で表すと $$t^2+(2-2z)t+z^2+2z-8\le0,\qquad t\ge0,\qquad z\le2.$$ 二次式の根は $$t=z-1\pm\sqrt{9-4z}.$$ 根の積は $(z+4)(z-2)$ なので、$t\ge0$ を満たす断面があるのは $-4\le z\le2$ である。この範囲では下側の根は0以下、上側の根は0以上であり、断面は $$0\le t\le z-1+\sqrt{9-4z}$$ となる。回転後の断面は半径 $\bigl(z-1+\sqrt{9-4z}\bigr)/\sqrt2$ の円板だから $$\displaystyle V=\frac{\pi}{2\sqrt2}\int_{-4}^{2} \bigl(z-1+\sqrt{9-4z}\bigr)^2\,dz.$$ 被積分関数は $$z^2-6z+10+2(z-1)\sqrt{9-4z}$$ であり、多項式部分の積分は120である。根号を含む部分は $u=9-4z$ と置換して $$\displaystyle \int_{-4}^{2}2(z-1)\sqrt{9-4z}\,dz =\frac18\int_1^{25}(5-u)\sqrt u\,du =-\frac{1568}{15}.$$ したがって積分全体は $\displaystyle 120-\frac{1568}{15}=\frac{232}{15}$ となり、 $$\displaystyle V=\frac{\pi}{2\sqrt2}\cdot\frac{232}{15} =\frac{58\sqrt2\pi}{15}.$$

領域をyについて整理して図示する。回転軸に沿う座標z=x−yと垂直距離t=x+yを使い、断面半径を求めて円板の体積を積分する。