5東北大学 2018年 数学 第5問解答・解説

・ 方程式が実数解$t$をもつとする。定数項が$2i\ne0$なので$t\ne0$であり、方程式から $$\displaystyle \alpha=t+\frac{2i}{t}.$$ したがって$\operatorname{Re}\alpha=t$、$\displaystyle \operatorname{Im}\alpha=\frac2t$であるから、$(\operatorname{Re}\alpha)(\operatorname{Im}\alpha)=2$。逆にこの式を満たす点を$\alpha=u+iv$とすると$u\ne0$、$v=2/u$であり、$z=u$を代入すれば $$\displaystyle u^2-\alpha u+2i=u^2-\left(u+\frac{2i}{u}\right)u+2i=0.$$ よって軌跡は$uv=2$で表される双曲線であり、第I・III象限に2つの枝をもち、座標軸が漸近線である。

・ $|z|=1$より$z=\cos t+i\sin t$、$1/z=\cos t-i\sin t$とおける。方程式から $$\displaystyle \alpha=z+\frac{2i}{z}=(\cos t+2\sin t)+i(\sin t+2\cos t).$$ 回転後の点は$\displaystyle \beta=e^{i\pi/4}\alpha=\frac{1+i}{\sqrt2}\alpha$である。実部を$X$、虚部を$Y$とすると $$\displaystyle X=\frac{\sin t-\cos t}{\sqrt2},\qquad Y=\frac{3(\sin t+\cos t)}{\sqrt2}.$$ $\displaystyle \theta=t-\frac\pi4$とおけば$X=\sin\theta$、$Y=3\cos\theta$となる。したがって $$\displaystyle X^2+\frac{Y^2}{9}=\sin^2\theta+\cos^2\theta=1.$$ $\theta$は任意の実数を動くので、軌跡は中心が原点で、実軸方向の半径が1、虚軸方向の半径が3の楕円全体である。

図示：添付 figure_loci.svg の左図は第I・III象限に枝を持ち座標軸を漸近線とする双曲線、右図は切片$(\pm1,0),(0,\pm3)$の楕円である。