1札幌医科大学 2018年 数学 第1問解答・解説

(1) 与式を順に引くと $$x-y=(z-y)(z+y),\quad y-z=(x-z)(x+z),\quad z-x=(y-x)(y+x).$$ $K=(x-y)(y-z)(z-x)$、$S=(x+y)(y+z)(z+x)$ とおく。辺々を掛けると $K=-KS$、すなわち $K(1+S)=0$。$x,y,z\ge0$ だから $S\ge0$、従って $K=0$。どれか一組が等しく、元の差の式から残りも等しいので $x=y=z$。

(2) 平方完成により $$(t+x/2)^2=x^2/4-|y|,$$ よって $P(x)$ は $-x^2/4\le y\le x^2/4$ を満たす実数 $y$ 全体の集合である。$x<0$ では二次式 $xt^2+yt+1$ は十分大きな $|t|$ で負になるため $Q(x)=\varnothing$。$x=0$ は全ての $t$ で $yt+1>0$ となる条件が $y=0$ なので $Q(0)=\{0\}$。$x>0$ では $$\displaystyle xt^2+yt+1=x\left(t+\frac{y}{2x}\right)^2+1-\frac{y^2}{4x},$$ 従って $Q(x)$ は $-2\sqrt{x}<y<2\sqrt{x}$ を満たす実数 $y$ 全体の集合である。$x=0$ では包含が成り立ち、$x>0$ では閉区間 $P(x)$ の端点も $Q(x)$ に入る条件が $x^2/4<2\sqrt{x}$、すなわち $x<4$。必要十分条件は $0\le x<4$。

(3) 距離は非負なので $a|x|=\sqrt{(x-2)^2+y^2}$ を二乗してよい。 $$a^2x^2=(x-2)^2+y^2.$$ $a=1/2$ では $3(x-8/3)^2+4y^2=16/3$、従って $(x-8/3)^2/(16/9)+y^2/(4/3)=1$。$a=1$ では $y^2=4(x-1)$。$a=2$ では $3(x+2/3)^2-y^2=16/3$、従って $(x+2/3)^2/(16/9)-y^2/(16/3)=1$。