I日本大学 2021年 数学 第I問解答・解説

(1) 絶対値の中身の符号で場合分けする。 $x\ge3$ のときは $|x-3|=x-3$ なので $$x^2-3x+2>|x-3|\quad\text{すなわち}\quad x^2-4x+5=(x-2)^2+1>0$$ となり、すべての $x\ge3$ が解である。 $x<3$ のときは $|x-3|=3-x$ なので $$x^2-3x+2>3-x\quad\text{すなわち}\quad x^2-2x-1>0.$$ 左辺の方程式の解は $x=1\pm\sqrt2$ であり、上に開く二次式だから $x<1-\sqrt2$ または $1+\sqrt2<x<3$ となる。これと $x\ge3$ の場合を合わせると $$x<1-\sqrt2\quad\text{または}\quad 1+\sqrt2<x.$$

(2) 共通の値を $k$ とおくと、$\sin A: \sin B: \sin C=2:3:4$ である。正弦定理より、辺をそれぞれ $a=BC,b=CA,c=AB$ として $a:b:c=2:3:4$ となる。従ってある正の数 $t$ を用いて $a=2t,b=3t,c=4t$ と表せる。余弦定理から $$\displaystyle \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} =\frac{(3t)^2+(4t)^2-(2t)^2}{2\cdot3t\cdot4t} =\frac78.$$

(3) データの平均は $$\displaystyle \bar{x}=\frac{1+2+4+4+5+5+6+7+7+9}{10}=5.$$ したがって分散は $$\displaystyle \frac1{10}\sum\limits _{i=1}^{10}(x_i-5)^2 =\frac{16+9+1+1+0+0+1+4+4+16}{10} =\frac{52}{10}=5.2.$$

(4) $t=2^x+2^{-x}$ とおくと、$2^{x/2}>0$ より $$(2^{x/2}-2^{-x/2})^2=t-2\ge0,$$ すなわち $t\ge2$ である。また $2^x\cdot2^{-x}=1$ だから $$4^x+4^{-x}=(2^x+2^{-x})^2-2=t^2-2.$$ よって $$y=2(t^2-2)-4t+3=2(t-1)^2-3.$$ $t\ge2$ では $(t-1)^2\ge1$ なので $y\ge-1$。等号には $t=2$ が必要であり、上の平方が0となるのは $2^{x/2}=2^{-x/2}$、すなわち $x=0$ のときである。従って $x=0$ で最小値 $-1$ をとる。

(5) $z=u+iv$（$u,v$ は実数）とおく。両辺は非負なので、与式を平方して同値に変形できる。 $$4\bigl((u+2)^2+v^2\bigr)=(u-3)^2+v^2$$ より $$\displaystyle 3u^2+22u+3v^2+7=0, \qquad \left(u+\frac{11}{3}\right)^2+v^2=\frac{100}{9}.$$ 従って軌跡は中心 $\displaystyle -\frac{11}{3}$、半径 $\displaystyle \frac{10}{3}$ の円である。三角不等式より $$\displaystyle |z|=\left|\left(z+\frac{11}{3}\right)-\frac{11}{3}\right| \le\left|z+\frac{11}{3}\right|+\frac{11}{3} =\frac{10}{3}+\frac{11}{3}=7.$$ 等号は $z=-7$ で成立し、この値は元の条件も満たす。ゆえに最大値は $7$ である。

検算として、(1) の境界値では元の不等式は等号となるため除外される。(2) の辺比 $2:3:4$ は三角形の成立条件を満たす。(3) の偏差平方和は52である。(4) で $x=0$ とすると $y=2(1+1)-4(1+1)+3=-1$ となる。(5) で $z=-7$ とすると両辺はともに10である。