III日本大学 2021年 数学 第III問解答・解説

(1) 円 $C_1$ の中心を $(a,b)$ とする。同じ $x=-2$ の二点 $(-2,-1),(-2,-5)$ から等距離であるため、中心はその中点を通る垂直二等分線 $y=-3$ 上にあり、$b=-3$ である。円が $y$ 軸に接するので半径は $|a|$ である。一方、中心から $(-2,-1)$ までの距離の二乗は $(a+2)^2+4$ だから $$a^2=(a+2)^2+4 \quad\text{より}\quad a=-2.$$ よって中心は $(-2,-3)$、半径は $2$ である。

(2) 直線 $\ell$ を $2x-y-4=0$ と書く。中心 $(-2,-3)$ と $\ell$ の距離は $$\displaystyle \frac{|2(-2)-(-3)-4|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} =\frac5{\sqrt5}=\sqrt5.$$ これは半径 $2$ より大きいので、円と直線は交わらない。円周上の点から直線までの最小距離は、中心から直線までの距離から半径を引いた値である。従って $$\displaystyle \min PQ=\sqrt5-2.$$

(3) 放物線上の点を $R=(t,t^2)$ とおく。点と直線の距離より $$\displaystyle \operatorname{dist}(R,\ell) =\frac{|2t-t^2-4|}{\sqrt5} =\frac{(t-1)^2+3}{\sqrt5} \ge\frac3{\sqrt5}.$$ 等号は $t=1$、すなわち $R=(1,1)$ で成立する。点 $P$ は直線 $\ell$ 上を動けるので、各 $R$ に対して最短の $PR$ はこの点と直線の距離である。従って下限は実際に達成され、 $$\displaystyle \min PR=\frac3{\sqrt5}=\frac{3\sqrt5}{5}.$$ 例えば $R=(1,1)$ から $\ell$ への垂線の足は $P=(11/5,2/5)$ で、$PR=3\sqrt5/5$ と確認できる。

検算として、$(-2,-3)$ から $(-2,-1)$ までの距離は2で、中心から $y$ 軸までの距離も2である。また、$\sqrt5>2$ なので (2) の最小距離は正である。