II日本大学 2021年 数学 第II問解答・解説

9個の玉は戻さずに取り出すため、取り出し順は9個の数字の順列で一様である。従って、最初の $k$ 回で開けたマスの集合は、$\displaystyle \binom{9}{k}$ 個の $k$ マスの集合のうちどれになるかが同様に確からしい。

(1) 3個未満の穴では縦または横に3つ並ぶことはない。一方、最初の3個が例えば $1,2,3$ なら、3回目で横に並ぶ。従って最小値は $m=3$ である。

7個の穴があれば、3行に各2個以下ずつ置くことはできないので、少なくとも一つの行に3個並ぶ。従って初めて並ぶ回数は高々7回である。また、例えば $1,5,9$ を残りの3マスとすれば、最初の6マスは各行・各列に2個ずつあり、まだ3個並ばない。7個目を開けると必ず3個並ぶので、最大値は $M=7$ である。

(2) $m=3$ なので、3回目に初めて並ぶのは最初の3個が一つの行または列をなす場合である。成功する3マス集合は、3行と3列の計6通りであり、全体は $\displaystyle \binom93=84$ 通りだから $$\displaystyle \Pr(T=m)=\frac{6}{\binom93}=\frac{6}{84}=\frac1{14}.$$

(3) $M=7$ 回目に初めて並ぶための必要十分条件は、最初の6マスに3個並ぶ列がないことである。そのような6マス集合では、各行に2個ずつ、各列にも2個ずつ穴がある。従って、残りの3マスは各行・各列にちょうど1個ずつ含まれる。この残す3マスの選び方は、各行に一つずつ選び、列が重複しないように並べる $3! =6$ 通りである。逆にこれらの選び方では、最初の6マスに3個並ぶ列はない。

全ての6マス集合は $\displaystyle \binom96=84$ 通り同様に確からしい。また、最初の6マスに3個並ぶ列がなければ、7マス目には少なくとも一つの行に3個並ぶため、初めて並ぶのはちょうど7回目となる。よって $$\displaystyle \Pr(T=M)=\frac{6}{\binom96}=\frac{6}{84}=\frac1{14}.$$

検算として、確率はいずれも $0$ と $1$ の間にあり、成功する3マス集合6通り、初めの6マスが安全な集合6通りという直接の数え上げとも一致する。