VI日本大学 2021年 数学 第VI問解答・解説

(1) 曲線が $A(1,8)$ を通ることから $$-1+a+b=8,\qquad a+b=9.$$ また、$A$ で接線が共通なので、そこでの微分係数が等しい。$C_1$ の微分係数は $-2x+a$、$C_2$ の微分係数は $4/\sqrt{x}$ だから、$x=1$ で $$a-2=4.$$ 従って $a=6,\ b=3$ である。

(2) 以降、$C_1:y=-x^2+6x+3$、$C_2:y=8\sqrt{x}$ である。$t=\sqrt{x}\ge0$ とおくと $$C_1-C_2=-t^4+6t^2+3-8t=-(t-1)^3(t+3).$$ $t+3>0$ なので、$0\le x<1$ では $C_1>C_2$、$x>1$ では $C_1<C_2$。従って、二曲線と $y$ 軸で囲まれる部分は $0\le x\le1$ にあり、上側が $C_1$、下側が $C_2$ である。

1) 面積は $$\displaystyle \begin{aligned} \operatorname{Area}(D) &=\int_0^1\bigl((-x^2+6x+3)-8\sqrt{x}\bigr)\,dx\\ &=\left[-\frac{x^3}{3}+3x^2+3x-\frac{16}{3}x^{3/2}\right]_0^1 =\frac13. \end{aligned}$$

2) $0\le x\le1$ で両曲線は $x$ 軸以上にあるので、回転体の断面は外半径 $C_1$、内半径 $C_2$ の円環である。よって $$\displaystyle \begin{aligned} V&=\pi\int_0^1\left\{(-x^2+6x+3)^2-(8\sqrt{x})^2\right\}\,dx\\ &=\pi\int_0^1(x^4-12x^3+30x^2-28x+9)\,dx\\ &=\pi\left(\frac15-3+10-14+9\right)=\frac{11\pi}{5}. \end{aligned}$$

検算として、両曲線は $x=1$ でともに $y=8$ となり、面積積分の被積分関数は端点で0である。また、体積の断面積は $x=0$ で $9\pi$、$x=1$ で0となり、外半径と内半径の向きに一致する。